Si $\,f^{7} $ es holomorphic, a continuación, $f$ es también holomorphic.

Question

Necesito ayuda con este problema:

Deje $ \Omega $ ser un complejo de dominio, es decir, conectado y abierto no vacío es subconjunto de a $ \mathbb{C} $. Si $ f: \Omega \to \mathbb{C} $ es una función continua y $ f^{7} $ es holomorphic en $ \Omega $, $ f $ es también holomorphic en $ \Omega $.

Gracias de antemano.

Answer 1

Permítanme dar una primaria de la prueba:

Primero de todo, o $g=f^7$ es idéntica a cero o sus raíces están aislados. En el primer caso $f\equiv 0$, y no hay nada que demostrar. Así que asumir que las raíces de $g$ (si las hay) están aislados.

Necesitamos demostrar que, para cada $z_0\in\Omega$, el límite $$ \lim_{z\a z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \etiqueta{1} $$ existe. Pero $$ \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\frac{f^7(z)-f^7(z_0)}{z-z_0}\cdot \frac{f(z)-f(z_0)}{f^7(z)-f^7(z_0)}=\frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0}\cdot\frac{1}{\sum_{k=0}^6 f^k(z)\,f^{6-k}(z_0)}. $$ Deje $z_0\in\Omega$, de tal manera que $f(z_0)\ne 0$. Esto es equivalente a $g(z_0)\ne 0$, y como $f$ es continua en a $z_0$ (y no desapareciendo en un barrio de la misma), entonces el límite de $(1)$ no existe como $$ \lim_{z\a z_0}\frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0}\cdot\frac{1}{\sum_{k=0}^6 f^k(z)\,f^{6-k}(z_0)} =\frac{g'(z_0)}{7f^6(z_0)}. $$ Así que si $Z=\{z:f(z)=0\}$,$f\in\mathcal H(\Omega\smallsetminus Z)$, y como $f\in C(\Omega)$, y cada punto de $w$ $Z$ es aislado, es una singularidad aislada. Pero como $f$ es continua en a$w$, $w$ es una singularidad removible de $f$.

Por lo tanto, $f\in\mathcal H(\Omega)$.

Answer 2

Podemos suponer $\Omega$ conectado.

Deje $g(z)\colon = [f(z)]^7$, un holomorphic función. Deje $N$ el conjunto de ceros de $g$. Si $N$ tiene un punto de acumulación en $\Omega$ $g$ es idéntico $0$$f$. De lo contrario, el conjunto de $N$ es discreto ( puede tener un punto de acumulación en $\partial \Omega$).

El conjunto $\Omega \backslash N$ es abierto y conectado. La función de $g$ mapas de $\Omega \backslash N$$\mathbb{C}\backslash\{0\}$. Vamos $p \colon \mathbb{C}\backslash\{0\} \to \mathbb{C}\backslash\{0\}$, $p(z) = z^7$.

$p$ es un holomorphic cubierta . Tenemos $$p\circ f = g$$ es decir, $f$ es un ascensor de $g$. Por otra parte, $f$ es continua. Es un hecho general de que el continuo levantamiento de holomorphic mapa de holomorphic cubriendo también es holomorphic. Llegamos a la conclusión de que $f$ es holomorphic en $\Omega \backslash N$. Las singularidades $N$ son removibles, porque $f$ es continua en a $\Omega$. Por lo $f$ holomorphic en $\Omega$.

Obs: En realidad funciona con cualquier no constante holomorphic función de $\phi(z)$ en lugar de $z^7$. El problema puede ser tratado de forma local en una manera similar.

Answer 3

Deje $g(z):=f^7(z)$. Si $g(z_0)\ne0$ hay un barrio $U$ $z_0$ y un holomorphic función de $h:\>U\to{\mathbb C}$$g(z)=e^{h(z)}$$U$. Podemos suponer que la $U$ es tan pequeña que $|h(z)-h(z_0)|<1$$U$. Entonces hay exactamente $7$ funciones continuas $f_k:\>U\to {\mathbb C}$$f^7=g\restriction U$, es decir, las funciones $$f_k(z)=e^{2k\pi i/7}\>e^{h(z)/7}\qquad(0\leq k<7)\ ,$$ y $f\restriction U$ es uno de ellos. Desde todos los $f_k$ son holomorphic así es $f\restriction U$. De ello se desprende que $f$ es holomorphic en $\Omega\setminus N$ donde $N$ es el ajuste a cero de $g$. Desde este conjunto se compone de puntos aislados (a menos $g(z)\equiv0$), y $f$ está delimitado en el barrio de cada uno de los $z\in N$ se sigue que $f$ es en el hecho de holomorphic en todos los de $\Omega$.

Answer 4

Hay una sencilla prueba, si usted asume la declaración más fuerte que $f(z)$ es continuamente diferenciable, en lugar de continua. De hecho, $f(z)$ es holomorphic si y sólo si $df/d{\overline{z}} = 0$, y desde $f(z)^7$ es holomorphic, $df/d{\overline{z}}\times f(z)^6 = 0$. Suponer sin pérdida de generalidad que $f(z)$ no es la función cero, de modo que se desvanece en un discreto subconjunto $S$ $\Omega$ (que es también el de fuga, el locus de la holomorphic función de $f(z)^7$). En el complemento de $S$ podemos dividir por $f(z)^6$, por lo que tenemos $df/d{\overline{z}}=0$ en el complemento de $S$. Desde $S$ es discreto y $df/d{\overline{z}}$ es continua, entonces $df/d{\overline{z}}=0$ sobre todo $\Omega$.

Answer 5

Este es un topológica de la variante de la de Christian solución elegante.

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Deje $ g \stackrel{\text{df}}{=} f^{7} $. Como $ g $ es holomorphic en $ \Omega $, (i) es $ 0 $ todas partes en $ \Omega $ o (ii) el conjunto de sus raíces es un aislado subconjunto de $ \Omega $. Si el Caso (i) se produce, entonces hemos terminado. Por lo tanto, supongamos que estamos en el Caso (ii).

Deje $ \mathcal{Z} $ denotar la (cerrado) conjunto de raíces de $ g $. Para cualquier punto de $ p \in \Omega \setminus \mathcal{Z} \neq \varnothing $, existen

• un (suficientemente pequeño) disco abierto $ D $ centrada en $ p $ y el contenido en $ \Omega \setminus \mathcal{Z} $, y
• un holomorphic función de $ h: D \to \mathbb{C} $ tal que $ g|_{D} = e^{h} $.

Ahora, para cada una de las $ z \in D $, debemos tener $$ f(z) \en \left\{ e^{2 \pi i k / 7} ~ e^{h(z) / 7} ~ \| ~ k \in \{ 0,\ldots,6 \} \right\}. $$ Esto es debido a que el lado derecho es precisamente el conjunto de todos los complejos de $ 7 $-th raíces de $ g(z) $. Esto significa que tenemos una función de $ k: D \to \{ 0,\ldots,6 \} $ tal que $$ \forall z \D: \quad f(z) = e^{2 \pi i \cdot k(z) / 7} ~ e^{h(z) / 7}. $$ Pretendemos que $ k $ es localmente constante en $ D $. Asumir lo contrario. Entonces existe un $ q \in D $ tal que $ k $ no es constante en cualquier barrio de $ q $. Así, podemos encontrar una secuencia $ (z_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ $ D \setminus \{ q \} $ convergentes a $ q $ tal que $ k(z_{n}) \neq k(q) $ todos los $ n \in \mathbb{N} $. Por el Principio del Palomar, podemos extraer una larga $ (z_{n_{j}})_{j \in \mathbb{N}} $ todos los $ k(z_{n_{j}}) $'s es igual a un número entero $ m \in \{ 0,\ldots,6 \} $. Entonces \begin{align} 0 & = \lim_{j \to \infty} \left[ f(q) - f(z_{n_{j}}) \right] \quad (\text{As %#%#% is continuous.}) \\ & = \lim_{j \to \infty} \left[ e^{2 \pi i \cdot k(q) / 7} ~ e^{h(q) / 7} - e^{2 \pi i \cdot k(z_{n_{j}}) / 7} ~ e^{h(z_{n_{j}}) / 7} \right] \\ & = e^{2 \pi i \cdot k(q) / 7} ~ e^{h(q) / 7} - e^{2 \pi i m / 7} ~ e^{h(q) / 7} \quad (\text{As %#%#% is continuous.}) \\ & = \left[ e^{2 \pi i \cdot k(q) / 7} - e^{2 \pi i m / 7} \right] e^{h(q) / 7} \\ & \neq 0. \quad (\text{As %#%#%.}) \end{align} Tenemos una contradicción, por lo $ f $ debe ser localmente constante en $ h $. Como $ m \neq k(q) $ está conectado, $ k $ debe ser constante en $ D $. En consecuencia, $ D $ es un holomorphic de la función en $ k $. Como $ D $ es arbitrario, $ f $ es holomorphic en $ D $. (Nota: Aunque holomorphicity tiene consecuencias mundiales, es una propiedad local.) Finalmente, $ p \in \Omega \setminus \mathcal{Z} $ es holomorphic en todos los de $ f $ como es continua en cada uno (aislado) de la raíz.