$\operatorname{Aut}(G)$ contiene una involución $\sigma$ sin trivial punto fijo

Question

Estoy leyendo algunos libros de álgebra en el mío propio, y parece que el siguiente ejercicio aparece en muchos de ellos:

Deje $G$ ser un grupo finito con $\sigma\in\operatorname{Aut}(G)$ satisfactorio 1)$\sigma^2=\text{id}$ y 2)$\sigma(g)\neq g$$g\neq e$. Demostrar $G$ es abelian.

La prueba en sí no es tan difícil, pero me pregunto si esta declaración es de cierta importancia. La búsqueda de un $\sigma\in\operatorname{Aut}(G)$ no me parece que sea una forma muy eficiente para mostrar $G$ es abelian.

Así lo hace esta declaración tiene algunas buenas aplicaciones? ¿Por qué aparecen en muchos libros de álgebra?

Gracias!

Answer 1

El único lugar que he visto este problema es en la universidad de Harvard examen preliminar para el Tel. D (me acuerdo porque lo pensé durante un tiempo!)... le importaría decirnos dónde más has encontrado? (No estoy cuestionando que se encuentra en muchos lugares!)

Dicho esto, creo que no es de ningún uso práctico. Pero la prueba es divertido:

Definir un mapa (a priori no es un homomorphism) $g: G \to G$$g(a)=\sigma(a)\cdot a^{-1}$. A continuación,$\sigma(g(a))\cdot g(a) = a \cdot \sigma(a^{-1}) \cdot \sigma(a) \cdot a^{-1} = 1$, por lo que, para cualquier elemento $b$ en la imagen de $g$,$b^{-1}=\sigma(b)$.

Pero $g$ es inyectiva: de hecho, si $\sigma(a)\cdot a^{-1} = \sigma(c)\cdot c^{-1}$ $\sigma(c^{-1}a)=c^{-1}a$ y por supuesto el único punto fijo de $\sigma$$1$, lo $a=c$.

Desde $g$ es inyectiva y $G$ es finito, $g$ es también surjective. Por lo tanto, $b^{-1}=\sigma(b)$ por cada $b\in G$. Pero el mapa de $b \mapsto b^{-1}$ es un homomorphism si y sólo si $G$ es abelian.