Realmente estoy luchando por entender el Identidad de Jacobi . No estoy luchando con la verificación o el cálculo de los conmutadores .. Simplemente no puedo ver a través de él. No veo la motivación que hay detrás (como axioma para definir un álgebra de Lie). ¿Alguien podría dar una explicación intuitiva?
Respuestas
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No creo que haya una sola motivación. Mencionaré tres.
En primer lugar, la identidad de Jacobi dice precisamente que el soporte es una derivación con respecto a sí mismo, donde una derivación de un álgebra es un mapa $d$ con $d(a\cdot b)=d(a)\cdot b+a \cdot d(b)$ . Por lo tanto, escribir $\mathrm{ad}(a)$ para el mapa $b \mapsto [a,b]$ la identidad de Jacobi puede reescribirse (utilizando la antisimetría) como $$\mathrm{ad}(a)([b,c])=[\mathrm{ad}(a)(b),c]+[b,\mathrm{ad}(a)(c)].$$
En segundo lugar, dado un álgebra asociativa $A$ se puede producir una nueva álgebra no asociativa $\mathrm{Lie}(A)$ tomando $A$ para el espacio vectorial subyacente $\mathrm{Lie}(A)$ pero con una nueva estructura de producto dada por $(a,b) \mapsto ab-ba$ . Este producto, normalmente escrito como bracket (conmutador) satisface la identidad de Jacobi; ésta es probablemente la motivación original del axioma.
Por último, se parte de un álgebra asociativa libre $T=T(V)$ en un espacio vectorial $V$ . Esto resulta (Thm. 1 del §3 "Álgebra envolvente del álgebra de Lie libre", capítulo 1 de la obra de Bourbaki Grupos de Lie y álgebras de Lie ) para ser el álgebra envolvente del álgebra de Lie libre en $V$ por lo que basta con la identidad de Jacobi para forzar todas las demás relaciones que el subálgebra de Lie de $T(V)$ generado por $V$ con su estructura de corchetes consigue. Así que aunque uno podría estar tentado de buscar otros axiomas satisfechos por el conmutador, resulta que los únicos que existen en general son consecuencias formales de la identidad de Jacobi y la antisimetría. Esta última razón es la más sofisticada y, al menos en mi opinión, la demostración más convincente de que nuestros axiomas son los "correctos".
Matt Dawdy
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5479
Los axiomas de grupo pretenden abstraer las propiedades de simetrías discretas (es decir, biyecciones de un conjunto a sí mismo). Es decir, podemos definir un "grupo concreto" como un grupo de permutaciones de algún conjunto con la composición como operación de grupo. Se supone que un grupo abstracto es una versión de un grupo concreto que no depende de la elección de la acción de grupo, y el teorema de Cayley muestra que todo grupo abstracto es también un grupo concreto.
Bien, ¿qué pretenden abstraer los axiomas del álgebra de Lie? Pretenden abstraer las propiedades de simetrías infinitesimales que más que permutaciones son derivaciones en álgebras (como el álgebra $C^{\infty}(M)$ de funciones suaves en una variedad suave; las derivaciones en tales álgebras son lo mismo que campos vectoriales en $M$ ). El conmutador de dos derivaciones es de nuevo una derivación, y los axiomas de un álgebra de Lie pretenden ser la versión abstracta de esto. El análogo del teorema de Cayley aquí es difícil; es un corolario del Teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt .
Entonces, ¿por qué los conmutadores deben satisfacer la identidad de Jacobi? La razón es precisamente que se supone que el paréntesis es una derivación con respecto a sí mismo. Otra forma de decir esto es que el paréntesis $y \mapsto [x, y]$ es un homomorfismo del álgebra de Lie. Una explicación detallada de por qué debemos esperar esto se puede encontrar en esta entrada del blog . (A grandes rasgos, esta es la versión infinitesimal del hecho de que $x \mapsto gxg^{-1}$ es un homomorfismo de grupo).
Xetius
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10445
Existe una famosa identidad en la teoría de grupos debida a Hall-Witt: si $x$ , $y$ , $z$ son elementos de un grupo $G$ entonces $$[[x, y^{-1}],z]^y\cdot[[y, z^{-1}],x]^z\cdot[[z, x^{-1}],y]^x=1.$$ Es trivial de demostrar; se puede encontrar una interpretación geométrica (de una pequeña variante de esto) en términos de trayectorias a lo largo de un cubo aquí .
Supongamos ahora que $X$ , $Y$ , $Z$ son tres matrices cuadradas en $M_n(\mathbb C)$ y que $x(t)=\exp(t X)$ , $y(t)=\exp(t Y)$ , $z(t)=\exp(t Z)$ sean los subgrupos de un parámetro de $\mathrm{GL}(n,\mathbb C)$ con vectores tangentes iniciales $X$ , $Y$ y $Z$ respectivamente. Un pequeño cálculo muestra que, computando en el grupo $\mathrm{GL}(n,\mathbb C)$ tenemos $$[[x(t), y(t)^{-1}],z(t)]^{y(t)}=1 + t^3 [[X,Y],Z]+ \text{terms of higher order in $ t $.} $$ Se deduce que la evaluación de la identidad de Hall-Witt en $x=x(t)$ , $y=y(t)$ y $z=z(t)$ obtenemos $$ 1+t^3\bigl([[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]\bigr) + \cdots = 1 $$ para que en particular $$[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0.$$
En cierto sentido, pues, la identidad de Jacobi es la versión infinitesimal de la identidad de Hall-Witt.
hoyland
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349
Mi respuesta reflexiva es: Hace ad un homomorfismo de álgebra de Lie, es decir $\mathrm{ad}_{[x,y]}(z)=[\mathrm{ad}_x,\mathrm{ad}_y](z)$ por lo que la representación adjunta $x \mapsto \mathrm{ad}_x$ realmente es una representación (bueno, que es un homomorfismo en combinación con el primer punto de Steve).
Xetius
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10445
Por varias razones uno está interesado en subespacios $L\subseteq End(V)$ con $V$ un espacio vectorial, que se cierran bajo conmutadores -estas cosas aparecen por todas partes. En esta situación, el conmutador dota a $L$ con una multiplicación antisimétrica $L\times L\to L$ .
Ahora supongamos que se comienza en cambio con un espacio vectorial $L$ dotado de una multiplicación antisimétrica $L\times L\to L$ y te preguntas: ¿cuándo es $L$ ¿es isomorfo a un subespacio de alguna álgebra de endomorfismo de un espacio vectorial cerrado bajo conmutadores?
La respuesta es, precisamente, que
esto sucede cuando $L$ satisface la identidad de Jacobi,
y de hecho, en un sentido que se puede precisar, la identidad se caracteriza exclusivamente por esta condición.
Asimismo, la asociatividad es la condición precisa en un espacio vectorial $A$ dotado de una multiplicación $A\times A\to A$ lo que garantiza que es isomorfo a un subespacio de un álgebra de endomorfismo cerrado bajo composición.
Curiosamente, estas caracterizaciones no siempre son posibles: un ejemplo famoso es el de las álgebras de Jordan. Un subespacio $L$ de un álgebra de endomorfismo $End(V)$ se llama álgebra de Jordan especial si se cierra bajo la operación $$(x,y)\mapsto (x\circ y+y\circ x)/2.$$ Resulta que no existe un conjunto de identidades que caracterice tales cosas.
