Demostrar algebraicamente $a^2+b^2\ge a^{\alpha}b^{2-\alpha}$ $0\le\alpha\le2$ $a,b\ge0$

Question

Mi Análisis el profesor mostró esta desigualdad y elegantemente demostrado que el uso de coordenadas polares, diciendo que no se puede hacer de manera algebraica. Aquí, en cambio, es como creo que he manejado: en primer lugar vemos que es cierto para $ab=0$; dividiendo por el lado derecho obtenemos $$\left(\frac{a}{b}\right)^{2-\alpha}+\left(\frac{a}{b}\right)^{-\alpha}\ge1, $$ or equivalently, setting $t=a/b$, $$t^2+1\ge t^\alpha$$ which holds because the LHS is $\ge t^2\ge t^\alpha$ for $t\ge1$ and $\ge1\ge t^\alpha$ for $0\le t<1$.

Me estoy perdiendo algo? Hay fantasía algebraicas (tal vez algunos de álgebra lineal de las desigualdades) formas de demostrar la desigualdad?

Answer 1

Giro mi comentario en una respuesta: no sé si te vas a pensar que esto es hacer trampa, pero suponiendo sin pérdida de generalidad que $a\geq b$, $$a^2+b^2 \geq a^2 = a^\alpha a^{2-\alpha} \geq a^\alpha b^{2-\alpha}. $$

Answer 2

Pedirle a probar, usando coordenadas polares, que $$a^2+b^2\ge ka^{\alpha}b^{2-\alpha}\quad \forall 0\le\alpha\le 2, \forall a,b\ge 0$$ donde $$k=\frac{2}{\left(\alpha^{\alpha}(2-\alpha)^{(2-\alpha)}\right)^{1/2}}.$$ (Que es la mejor constante posible.)