¿Es posible aplicar una derivada a ambos lados de una ecuación dada y mantener la equivalencia de ambos lados?

Question

Tengo una ecuación con esta forma, donde $k, t_1, r \in \Bbb N$:

$$2^{(x+1)^2}=k+t_1(x^2+r)$$

Y me di cuenta de que puedo encontrar $t_1$ en términos de $x$ de la siguiente manera:

$$ \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} 2^{(x+1)^2} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left(k+t_1(x^2+r)\right)$$

Y entonces continuaría de la siguiente manera:

$$ 2(x+1)\cdot 2^{(x+1)^2}\cdot\ln(2) = t_1 2x$$

$$ (x+1)\cdot 2^{(x+1)^2}\cdot\ln(2) = t_1 x$$

Por lo tanto, finalmente:

$$ t_1=\frac{(x+1)\cdot 2^{(x+1)^2}\cdot\ln(2)}{x}$$

¿Es posible usar una derivada en este caso? Creo que si ambas funciones $2^{(x+1)^2}$ y $t_1(x^2+r)$ son equivalentes y la derivada existe, podría ser posible, pero no estoy muy seguro acerca de la validez de ese paso. ¡Gracias!

Answer 1

Esto sólo se aplica si tu ecuación es una identidad, lo que significa que es cierta para todos los $x$.

Por eso tiene sentido diferenciar una serie de Taylor para encontrar una para la derivada de una función.

Sin embargo, no es cierto para una ecuación que sólo es verdadera para algunos $x$. Por ejemplo, no puedes diferenciar $x^2 = 4$ para obtener $2x = 0 y esperar que la solución a esto sea la solución a aquello.

Answer 2

Has demostrado que a partir de esa ecuación (¿en dónde se cumple? supongo que en algún intervalo), obtienes una expresión para $t_1$. Eso parece absurdo, ¿verdad? ¿Tenemos la constante $t_1$ igual a una función de $x? Dudoso, por decir lo menos.

Lo que sucedió es que asumiste que la ecuación se cumple en algún intervalo. No es así. Si asumes que una afirmación falsa es cierta, entonces puedes derivar cualquier conclusión extraña que desees. (Escuché esta historia hace un tiempo: Bertrand Russell una vez le dijo a sus estudiantes de filosofía que asumiendo $0=1$, podías probar cualquier cosa. Un estudiante desafió después de clase: "De acuerdo, asumiendo $0=1$, prueba que eres dios". Russell: "De acuerdo, se concluye que $1=2$. Dado que dios y yo somos dos, se deduce que somos uno, por lo tanto yo soy dios." Espero que esa historia sea cierta.)

Answer 3

Por lo general, al declarar una ecuación con símbolos como $x$ o $r$, necesitas ser muy específico sobre lo que realmente significa esta ecuación. Por ejemplo, cuando escribimos $$ \sec^2 x = 1 + \tan^2 x \qquad \text{para }-\frac\pi2 < x < \frac\pi2 $$ queremos decir que la expresión a cada lado de la ecuación es una función de $x$ sobre todo el intervalo abierto $\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$. En este caso es completamente apropiado diferenciar ambos lados, porque la ecuación afirma que los lados izquierdo y derecho son la misma función de $x sobre algún intervalo de la recta numérica real, por lo que podemos tomar la derivada de esta función con respecto a $x$ (siempre que estemos dentro de ese intervalo y siempre que la derivada exista). Como es la misma función en ambos lados de la ecuación, todo lo que obtienes al diferenciar ambos lados es la derivada de esa función, que por supuesto es igual a sí misma incluso si está escrita un poco diferente en un lugar que en otro.

Por otro lado, si afirmamos que $r$ y $k$ son constantes conocidas y $x$ es desconocida en $$ e^{rx} = kx^2 - 1, $$ ahora tenemos una ecuación que se puede resolver para $x$. Esta ecuación en particular es verdadera para uno o dos valores distintos de $x$ (dependiendo de los valores de $k$ y $r); otras ecuaciones pueden tener tres soluciones, $17$ soluciones, o ninguna solución. Sin embargo, en la introducción de esta ecuación, nunca hubo implicación de que $e^{rx}$ y $kx^2 - 1$ son la misma función de $x sobre algún intervalo abierto. Dado que no son la misma función de $x, no hay motivo para pensar que sus derivadas serán iguales, por lo que tomar las derivadas de ambos lados y igualarlas no es algo legítimo.

En tu pregunta, afirmas la ecuación $$2^{(x+1)^2}=k+t_1(x^2+r),$$ y luego propones "encontrar $t_1$ en términos de $x$". No está del todo claro lo que se suponía que significaba la ecuación, incluso después de aclaraciones en varios comentarios, pero parece probable que la ecuación supuestamente representaba la idea de que $k$, $t_1$ y $r$ son constantes conocidas y que $x$ es un valor desconocido para el cual deseas resolver. En esa interpretación, tienes algo muy similar al ejemplo $e^{rx} = kx^2 - 1$ mencionado anteriormente, es decir, no tienes la misma función en ambos lados de una ecuación, y no hay justificación para igualar las derivadas de ambos lados.

Pero supongamos por un momento que realmente querías decir que las cosas a cada lado de la ecuación son la misma función. Esto claramente no puede ser cierto si $k$, $r$ y $t_1$ son todas constantes, pero supongamos que solo $k$ y $r$ se dan como constantes. Entonces tiene sentido decir, vamos a resolver $t_1$ en términos de $x$, siempre y cuando signifique que $t_1$ es una función de $x tal que todo el lado derecho de la ecuación es realmente la misma función de $x$ que el lado izquierdo de la ecuación.

Pero si haces esa interpretación, entonces la afirmación $$ \frac{{\rm d} }{{\rm d}x}( k+t_1(x^2+r)) = t_1 \cdot 2x $$ es simplemente incorrecta, porque tu interpretación del problema era que $t_1$ es una función de $x, y por lo tanto no puedes tratar a $t_1$ como una constante al diferenciar $t_1(x^2+r)$. En su lugar, necesitas aplicar la regla del producto. El hecho de que al seguir ese camino termines igualando $t_1$ a alguna función no constante de $x indica que no estaba bien ignorar la derivada de $t_1$ misma con respecto a $x.

Por supuesto, hay una forma mucho más simple de resolver $t_1$ en términos de $x$, asumiendo que $t_1$ es una función de $x: simplemente manipula la ecuación original (sin tomar derivadas) para aislar $t_1. Usando técnicas estándar de álgebra de la escuela secundaria para eliminar $k$ y luego $x^2+r$ del lado derecho de la ecuación, obtenemos $$ \frac{2^{(x+1)^2} - k}{x^2+r}=t_1, $$ y eso es $t_1$ expresado como una función de $x$ para cualquier constante $k$ y $r$.

Answer 4

EDICIÓN: Como se señaló en los comentarios, ninguna solución funcionaría para todos los x, ya que la primera crece exponencialmente y la segunda es un polinomio. Sin embargo, este método daría una solución en un punto dado x.

Esa sustitución es correcta, pero el argumento no está completamente completo. Lo que has encontrado en este momento son dos funciones $f$ y $g$ de modo que:

($f-g$)' = 0

En este punto, puedes integrar el resultado, y obtener que $f-g=c$, donde $c\in\Bbb N$ es una constante. Dado que tu ecuación permite elegir esa constante (es decir, eligiendo $c=k+t_1r$), entonces cualquier elección de $k$ y $r$ que satisfaga $c=k+t_1r$, sería una solución legítima.

También: ten en cuenta que la razón por la que existen otros llamados contraejemplos, en los comentarios y la otra publicación, es que esos contraejemplos no te permiten elegir la constante $c$. Si lo hicieran, también darían una solución al problema.

Answer 5

¿Qué es una derivada? Sea $f$ definida en un abierto $I \subset \mathbb{R}$ y fijemos $c \in I$. $f$ es diferenciable en $c$ si y solo si existe un número real denotado por $f'(c)$ tal que $f(x) = f(c) + (x-a)f'(c) + o(x-a)$. Es fácil ver, por lo tanto, que la derivada es una propiedad "local". No solo depende del valor de $f$ en $c$, sino en un entorno de $c.

¿Qué tiene que ver esto con tu pregunta, preguntas?

Supongamos que $f$ y $g$ son diferenciables. Si $f(a) = g(a)$ para algún $a \in I$, entonces $f'(a) = g'(a)$ no tiene por qué ser cierto para cualquier $a \in I$. Por ejemplo, si tienes $x + 1 = 2$, esto tiene una solución $x=1$, pero las derivadas de $g(x) := 2$ y $f(x) := x+1$ nunca coinciden.

Por otro lado, si $f(a) = g(a)$ para algún $a \in I y para cada $a$ que satisface $f(a) = g(a)$ hay un $\delta$ tal que $f(x) = g(x)$ para todo $x \in (a - \delta, a + \delta)$, entonces definitivamente podemos decir que $f'(a) = g'(a)$ para todos esos $a$.

Por supuesto, si $f$ y $g$ son diferenciables y son iguales en todas partes, entonces lo anterior se cumple claramente y por lo tanto $f' = g'$ para todo $x \in \mathbb{R}$.