Hace un par de días, un compañero en tono de broma que plantea un rompecabezas. En esencia, el puzzle de los estados que hay algunos gatos, cada gato en un rincón, y cada gato ve 3 gatos otros. El rompecabezas luego le pregunta cuántos gatos hay en total. La solución obvia es que no se $4$ gatos... sin Embargo, durante mucho tiempo he pensado que las extensiones del problema. He encontrado poliedros que permiten la $2n$ "los gatos", donde $n$ es un número entero, los "gatos" son los vértices, y los bordes de servir como "pasillos" a través de la cual los gatos pueden ver el uno al otro.
Naturalmente, esto me hizo curioso si el problema es posible con un número impar de vértices. Inmediatamente traté de atacar el problema y no se pudo resolver... yo incluso no ataque de forma restringida del problema, que requiere de un poliedro convexo con un número impar de vértices con cada vértice con 3 bordes conectados. Un ejemplo de un fracaso ejemplo sería el de una pirámide cuadrada (como uno de los vértices del ha $4$ bordes). Sin embargo, esta definición en realidad descuentos en el rompecabezas de la intención de la solución... Si es que uso mi "pasillo" de la interpretación del problema, a continuación, los "pasillos" entre los gatos en las esquinas opuestas forman una "X" en el centro de la plaza, la creación de un adicional de vértice con cuatro bordes conectados.
Al darse cuenta de lo mucho más difícil que había hecho el puzzle, me decidí por el caso restringido en dos dimensiones (que la intención de la solución radica en). Aunque suponemos que un número impar de "los gatos" es imposible, en tanto dos y tres dimensiones, pensé que sería más fácil para mostrar en dos dimensiones, especialmente para los cerrados, grafos planares. Sin embargo, me he quedado corto con una prueba aquí.
Me doy cuenta de que mi idioma es muy vago... me falta un decente introducción a la topología, y por lo tanto, mi idioma es incompleta. En caso de más detalles de ser necesario yo estaría encantado de elaborar. Sin embargo, creo que la forma más básica de mi pregunta es: ¿existe una generalización de la cat puzzle de números impares de los gatos en dos dimensiones? En tres dimensiones? Suponemos que esto es imposible.
