Aparte de la regla cero (un número que termina con cero significa que es divisible por el número de base y sus factores), ¿por qué es que otras reglas no se aplican en diferentes bases?
En particular, para los 3 uno puede simplemente sumar todos los dígitos y ver si es divisible. ¿Qué relación existe entre el 10 y 3 que tienen esta propiedad? ¿Esta propiedad existe en la otra base?
También: Hay reglas de divisibilidad para la base 2? Hay general de divisibilidad fórmulas para todas las bases?
Dos reglas que funcionan en cualquier base $b$.
Si $n$ divide $b-1$, entonces, si la suma de los dígitos es un múltiplo de a$n$, entonces el número es un múltiplo de a $n$. (Por eso el $3$ $9$ regla de trabajo).
Si la suma del lugar de los dígitos es un múltiplo de a $b+1$ más o menos que la suma de los impares lugar dígitos, entonces el número es un múltiplo de a $b+1$.
Prueba de contorno:
Deje $x = \sum c_i*b^i$ ser un número es la base de $b$. Entonces la suma de los dígitos es $N=\sum c^i$. Por lo $x - N = \sum c_i*(b^i - 1)$.
Cada una de las $b^i - 1 = (b-1)(b^{i-1}+b^{i-2} + .... + b + 1)$ $x - N$ es un múltiplo de a $b - 1$. Así que si $x$ es múltiplo de $b-1$ la suma de los dígitos es también un múltiplo de $b-1$.
Lo mismo si $x$ es un múltiplo de a $n|b-1$.
Hay otras reglas para otras bases.
Para entender por qué la regla de $3$ trabaja en base a $10$, usted necesita escribir su número de $x=d_n\times 10^n+\dots+d_1\times 10^1+d_0$ cuando la $d_i$ son los dígitos de $x$ base $10$. Usted puede notar que $10=3\times 3+1$, $10^2=3\times 33+1$, $10^n=3...3\times 3+1$ (donde $3...3$ $n-1$ dígitos igual a $3$). Por lo $$\begin{align}x &=d_n\times (3...3\times 3+1)+\dots+d_1\times (3\times 3+1)+d_0 \\ &= (d_n\times 3...3 + \dots+d_1\times 3)\times 3 +d_n+\dots+d_1+d_0\end{align}$$
Como se puede ver, el primer término es divisible por $3$, lo $x$ es divisible por $3$ si y sólo si $d_n+\dots+d_1+d_0$ es divisible por $3$. Así que la razón por la que funciona esta regla es el hecho de que el resto de la división de una potencia de $10$$3$$1$.
En base a $5$, la misma regla se aplica con $2$ (debido a los poderes de la $5$ son impares). Por ejemplo, en base $5$, $12$ no es divisible por $2$ ($1+2=3$ no es divisible por $2$) sino $13$$431$.
Para encontrar reglas por sí mismo una base $b$ y un divisor $d$, es necesario estudiar de qué manera los poderes de $b$ se comportan cuando se divide por $d$.
La razón por la que usted puede simplemente suma los dígitos de un número para la prueba de divisibilidad por 3 es debido a que para todos los enteros $n \ge 0$:
$$10^n \equiv 1 \pmod 3$$
Para ver por qué esto es cierto, sabemos que $10^1 \equiv 1 \pmod 3$
Por lo tanto:
$$ 10^n = 10*10*10 \cdots\\ \hspace{2,1 cm} \equiv 1*1*1\cdots \pmod 3\\ \hspace{0,1 cm} \equiv 1 \pmod 3\\ $$
A partir de esto podemos ver que para un entero $a_{n} a_{n-1} ...a_1$ en base 10 , $3 \mid a_{n} a_{n-1} ...a_1$ si y sólo si:
$$ \sum_{i=1}^{n} a_i \equiv 0 \pmod 3 $$
Podemos generalizar esto para cualquier base, si $n$ es de un dígito en base $b$ tal forma que:
$$ 10_b \equiv 1 \pmod n $$
A continuación, para todos los enteros $k \ge 0$:
$$ 10_b^k \equiv 1 \pmod n $$
Hay reglas de divisibilidad para la base 2.
Por ejemplo, un número binario $a_{n} a_{n-1} ...a_1$ donde $a_i$ es $1$ o $0$, $a_{n} a_{n-1} ...a_1$ es divisible por 3 si y sólo si:
$$ \sum_{i=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} a_{2} - \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} a_{2j+1} \equiv 0 \pmod 3 $$
Esto significa que $a_{n} a_{n-1} \cdots a_1$ es divisible por 3 si y sólo si la diferencia de la suma de los dígitos en las posiciones y la suma de los dígitos de las posiciones impares es divisible por 3.
Esto se aplica, en general, por cualquier base $b$ y un número de $a_{n} a_{n-1} ...a_1$ base $b$:
$$ (b+1) \a mediados a_{n-1} a_{n-2} ...a_1 $$
si y sólo si:
$$ \sum_{i=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} a_{2} - \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} a_{2j+1} \equiv 0 \pmod {b+1} $$
Para ver por qué esto es cierto, también, sabemos que:
$$ b \equiv -1 \pmod {b+1} $$
Por lo tanto:
$$ b^2 \equiv 1 \pmod {b+1} $$
Así que para todos los enteros $i \ge 0$:
$$ b^{2i+1} \equiv -1 \pmod {b+1} \el espacio y el espacio \\espacio de b^{2} \equiv 1 \pmod {b+1} $$
A partir de esto, $a_{n} a_{n-1} ...a_1$ es divisible por $b+1$ base $b$ si sólo si:
$$ a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \cdots + (-1)^{n-1}*a_n \equiv 0 \pmod {b+1} $$
que es equalvalent a:
$$ \sum_{i=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} a_{2} - \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} a_{2j+1} \equiv 0 \pmod {b+1} $$
No podría ser de 1 o 2 errores aquí (mi primera vez usando latex), siéntase libre de señalar.
Hay reglas generales para todas las bases.
Uno de esos regla que he tropezado a través de está descrito en la everything2.
Para cualquier entero base B mayor que 2, los múltiplos del número B-1, cuando se representan en la base B, siempre tendrá la suma de los dígitos ser un múltiplo de B-1. Si B-1 es un número cuadrado (4,9,16,...), entonces la raíz cuadrada de B-1 también tienen esta propiedad.
El 3 divisible regla funciona por el hecho de que 9,99,999... son todos divisibles por 3.
Por ejemplo, 471 es divisible por 3 porque 4+7+1 =12 divisible.
Piensa en esto: Cualquier número divisible por 3 todavía es divisible si le resta cualquier múltiplo de 3 por el número en sí.
471 = 4*100+7*10+1
Trate de restar por 99*4+9*7 usted se quedará con 4*(100-99)+7*(10-9)+1, que es sólo la suma de los dígitos. De esta manera, puede ver por qué la regla anterior funciona.
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