Compactibilidad y separabilidad secuenciales débiles

Question

Sea $X$ sea un espacio de Banach, y sea $B$ sea la bola unitaria cerrada de $X^*$ equipado con la topología débil-*. El teorema de Alaoglu dice que $B$ es compacto. Si $X$ es separable, entonces $B$ es metrizable, y en particular es secuencialmente compacta.

¿Y a la inversa? Si $B$ es secuencialmente compacto, debe $X$ ser separable?

Esta pregunta se inspira en éste .

Answer 1

No necesariamente. Todo espacio de Banach reflexivo tiene una bola unitaria débilmente compacta; por tanto, por la Teorema de Eberlein-Šmulian todo espacio de Banach reflexivo tiene una bola unitaria débil* secuencialmente compacta.

También, y de forma más general, se deduce de Rosenthal $\ell_1$ Teorema (un espacio de Banach $X$ no contiene $\ell_1$ isomórficamente si y sólo si toda secuencia acotada en $X$ tiene una subsecuencia débilmente Cauchy) que si $X^*$ no contiene $\ell_1$ isomórficamente, entonces la bola unitaria de $X^*$ es débil* secuencialmente compacta.

Answer 2

Para un contraejemplo explícito: sea $H$ sea un espacio de Hilbert no separable, y supongamos que tenemos una secuencia de vectores $x_n$ en la bola unitaria de $H$ . Sea $H_0$ sea el tramo lineal cerrado del $x_n$ de modo que $H_0$ es un espacio de Hilbert separable. Entonces la $x_n$ tienen una subsecuencia que converge débilmente en $H_0$ . Pero debido a la descomposición ortogonal $H = H_0 \oplus H_0^\perp$ es fácil ver que esta subsecuencia también converge débilmente en $H$ .