Dimensionalidad del espacio nulo cuando la huella es cero

Question

Esta es la cuarta parte de cuatro partes de problema en el aeropuerto Charles W. Curtis del libro de Álgebra Lineal, Una introducción Enfoque (p. 216). Yo he tenido éxito en la demostración de las tres primeras partes, pero la parte más interesante del problema me escapa. La parte (a) exige que el lector demostrar que $\operatorname{Tr}{(AB)} = \operatorname{Tr}{(BA)}$, lo que yo era capaz de mostrar a través de la escritura de cada lado de la ecuación usando la notación sigma. Parte (b) pide al lector que use la parte (a) para mostrar que similar matrices tienen la misma traza. Si $A$ $B$ son similares, entonces

$\operatorname{Tr}{(A)} = \operatorname{Tr}{(S^{-1}BS)}$

$= \operatorname{Tr}(BSS^{-1})$

$= \operatorname{Tr}(B)$,

que completa la parte (b). Parte (c) le pide al lector que muestran que el subespacio vectorial de las matrices con traza igual a cero tiene dimensión $n^2 - 1$. Curtis proporciona la sugerencia de que el mapa de $M_n(F)$ $F$es una transformación lineal. A partir de esto, he usado el teorema de que $\dim T(V) + \dim n(T) = \dim V$ para obtener la dimensión del espacio nulo. La parte (d), sin embargo, estoy atascado en. Se le pide al lector mostrar que el subespacio descrita en la parte (c) es generado por las matrices de la forma $AB - BA$ donde $A$ $B$ son arbitrarias $n \times n$ matrices. Traté de formar una base para el subespacio, pero no estaba muy seguro de lo que se vería desde un $n \times n$ matriz de ha $n^2$ entradas en él, pero la base necesitaría $n^2 - 1$ matrices. También traté de pensar en una transformación lineal cuya imagen tendría la forma de $AB - BA$, pero esto no me ayuda. Estoy un poco atascado...

Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Una manera de probar esto: que para todas matrices de $A,B$, $AB−BA$ tiene traza igual a cero. Indica que la matriz de entrada $E_{ij}$ en fila $1$, columna $i$$j$ y $H_{ij}:=E_{ii}−E_{jj}$. Entonces $\{E_{ij}:i\ne j\}∪\{H_{i,i+1}:1\le i\le n-1\}$ forman una base para el espacio. Además, $H_{ij}=E_{ij}E_{ji}−E_{ji}E_{ij}$ y $2E_{ij}=H_{ij}E_{ij}−E_{ij}H_{ij}$. Por lo tanto, tiene una base formada por elementos de la forma $AB−BA$.