Esto puede parecer una pregunta muy básica, pero no he podido encontrar una adecuada prueba en los libros que tengo en mi escritorio (o simplemente no se puede ver que es "sólo eso"). Para estar seguro de lo que hablamos, vamos a $G$ una Mentira grupo, $V$ a (finito dimensional) representación de $G$ $X$ un elemento de la Mentira álgebra $LG$$G$. Vamos también a $\exp : LG \to G$ denotar la costumbre exponencial mapa. A continuación, definir $$ L_X(v):=\lim_{t\to 0}\frac{1}{t}(\exp(tX)v-v) $$ Para mí está claro que es lineal en $v$,$L_{sX}v = sL_Xv$, pero estoy teniendo problemas para demostrar que $L_{X+Y}v = L_Xv + L_Yv$.
He intentado lo siguiente :
a) Reescribir $L_Xv$ $$ L_Xv = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\exp(tX)v $$ a continuación, utilice el hecho de que $\exp$ es el único mapa tal que $\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\exp(tX) = X$ conseguir $L_{X+Y}v = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\exp(t(X+Y))v = (X+Y)v = Xv + Yv = L_Xv + L_Yv$ pero no estoy seguro de si puedo hacerlo. Así que si yomeone podría decirme si puedo, y por qué, eso sería genial !
b) En la forma de la matriz, $\frac{1}{t}(\exp(tX) - Id) = \sum_{k=1}^\infty \frac{t^{k-1}}{k!}X^k $, por lo que $$ \lim_{t\to 0}\frac{1}{t}(\exp(tX)v-v) = Xv $$ y, a continuación, la conclusión de que en una). Pero aquí, de nuevo, no sé si puedo hacer eso en general.
