Problema de color de la bombilla

Question

Primero, por favor, eche un vistazo a los siguientes problemas:

Hay dos indistinguibles de las bombillas a y B. Un parpadea en rojo la luz con prob .8 y azul con prob .2; B rojo con .2 y azul .8. Ahora con .5 problemas que se presentan con a o B. Se supone para observar su color del flash para hacer una mejor estimación (maximizar la probabilidad de correcta suposición) que la bombilla es. Antes de empezar a hacer observaciones, sin embargo, usted debe decidir cómo muchas veces usted desee observar (digamos n veces, entonces usted observar a parpadear n veces y hacer su conjetura). Supongamos que los destellos son independientes.

Intuitivamente, uno podría pensar que el más observaciones que uno hace, la mejor de las posibilidades que va a ser. Curiosamente, sin embargo, es fácil de cálculo para mostrar que n=2 no mejora con n=1 y n=4 no mejora con n=3. Yo no ir más lejos, pero yo especular n=2k no mejora con n=2k-1. Yo no soy capaz de demostrar que para el caso general. Pero, ¿es cierto? Si es así, ¿cómo puede uno comprender intuitivamente el resultado?

Answer 1

Estás en lo correcto: $n=2k$ no mejora a $n=2k-1$ en este simétrica caso.

Claramente, la estrategia óptima es mirar el número de rojo y azul parpadea y elegir a o B de acuerdo en el que el color aparece más. Si el mismo número de cada uno, no hace ninguna diferencia lo que usted supongo que, como su oportunidad de ser correcto es $0.5$ en esa situación.

Si hay una mayoría de un color después de $2k$ flashes, a continuación, la mayoría debe ser uniforme y al menos 2, por lo que el color también había una mayoría de al menos 1 después de $2k-1$ parpadea. Si hay igualdad después de la $2k$ de los flashes, a continuación, elegir el color con una mayoría después de $2k-1$ flashes es tan buena como cualquier otra regla de decisión en esta situación. Así que con un número par de destellos, el final de flash no te ayuda a mejorar tu cambio de adivinar correctamente.

Answer 2

Para responder de una manera rigurosa, este problema se reduce a la observación de la cantidad de glóbulos rojos destellos $X$ que es un binomio $\mathcal{B}(n,.8)$ (A) o un binomio $\mathcal{B}(n,.8)$ (B), con una probabilidad de $0.5$ para cada uno. La probabilidad de selección de Una bombilla es dada por el teorema de Bayes $$ \mathbb{P} b=A|X=x) = \dfrac{\mathbb{P}(X=x|b=A)}{\mathbb{P}(X=x|b=A)+\mathbb{P}(X=x|b=B)} $$ así que esto es $$ \mathbb{P} b=A|X=x) = \dfrac{{n \elegir x} 0.8^x 0,2^{n-x}}{{n \elegir x} 0.8^x 0,2^{n-x}+{n \elegir x} 0.2^x 0.8^{n-x}}=\dfrac{1}{1+4^{n-2}} $$ Por lo tanto, A (resp. B) se elige al $n-2x<0$ (resp. $n-2x>0$). Por lo tanto, cuando se $n=2k-1$, la probabilidad de elegir correctamente Un es $$ \mathbb{P}(X>(2k-1)/2|b=A) = \mathbb{P}(X\ge k|b=A) =\sum_{x=k}^{2k-1} {2k-1 \elegir x} 0.8^x 0,2^{2k-1-x}\,. $$