Estoy haciendo una tarea de revisión y estoy atrapado en este problema.
a) ¿cuántos divisores positivos tiene $a$? Tengo $60$
b) ¿cuántos números enteros positivos menos que $a$ es relativamente primer a $a$? Tengo $720$
c) ¿Cuál es el más pequeño entero positivo $m$ tal que $a^2m$ es un cubo?
d) lista de todos los divisores positivos $b$ de una para que un % se divide $b^2$también es cierto.
Se agradecería enormemente cualquier ayuda y Consejo. ¡Gracias por su tiempo y ayuda!
En primer lugar, tenga en cuenta que $43120 = 2^\color{red}{4}\cdot 5^\color{blue}{1}\cdot 7^\color{green}{2}\cdot 11^\color{purple}{1}$.
Parte De Un
El número de divisores enteros positivos es el producto de uno más cada exponente en la descomposición en factores primos. Es decir, $$d(43120) = \color{red}{(4+1)}\color{blue}{(1+1)}\color{green}{(2+1)}\color{purple}{(1+1)} = (5)(2)(3)(2) = 60$$
Part B
The number of positive integers coprime to $43120$ can be found using Euler's Totient function, $\phi(n)$. Since $\phi$ is multiplicative for coprime integers:
$$\phi(43120) = \phi(2^4)\phi(5)\phi(7^2)\phi(11)$$
Also, $\phi(p^n) = p^{n-1}(p-1)$ for prime integers $p$. Then:
$$\begin{align}\phi(43120) &= \left[2^3(2-1)\right]\left[5-1\right]\left[7^1(7-1)\right]\left[11-1\right]\\ &= 8\cdot4\cdot 42\cdot 10\\ &= 13440 \end{align}$$
La Parte C Queremos que todos los exponentes de la $a^2$ ser múltiplos de tres, y queremos que el más pequeño de tales exponentes. $$\left(2^\color{red}{4}\cdot 5^\color{blue}{1}\cdot 7^\color{green}{2}\cdot 11^\color{purple}{1}\right)^2 = 2^\color{red}{8}\cdot 5^\color{blue}{2}\cdot 7^\color{green}{4}\cdot 11^\color{purple}{2}$$ Así, es fácil ver que tenemos que añadir a $1$ para el primer exponente, $1$, $2$ a la tercera y $1$ para el cuarto. Por lo tanto, nuestro entero $m$ es: $$m= 2^\color{red}{1}\cdot 5^\color{blue}{1}\cdot 7^\color{green}{2}\cdot 11^\color{purple}{1}$$
De La Parte D
Esto es similar exponente relacionados con el truco como en la parte c si estoy pensando que a través correctamente. Voy a dejar este como un ejercicio para el lector. :)
En primer lugar, hemos factor de $$43120=2^45^17^211^1$$
Las soluciones a, c, d, se obtienen a partir de los exponentes $u=(4,1,2,1)$.
a) Una positiva divisor es un $4$-vector de números enteros no negativos majorized por $u$. Que es $$\{(a,b,c,d):0\le a\le 4, 0\le b\le 1, 0\le c\le 2, 0\le d\le 1\}$$ Hay $(4+1)\times(1+1)\times (2+1)\times (1+1)=60$ divisores positivos.
c) $a^2$ corresponde a $(8,2,4,2)$. Para hacer un cubo, cada uno debe ser un múltiplo de $3$, es decir,$(9,3,6,3)$. Restando obtenemos $(1,1,2,1)$, es decir,$2^15^17^211^1=m$.
d) Por $a$ a dividir $b^2$, $u$ debe ser majorized por la $4$-vector de $b^2$. Por ejemplo, si $b$ corresponde a $(5,1,2,2)$, $b^2$ corresponde a $(10,2,4,4)$, que majorizes $u$, ya que es mayor en cada componente. Dejo de contar cuántos hay de estos.
b) buscar $\phi(43120)$, el de Euler totient. Este es multiplicativa, por lo que desea $\phi(2^4)\phi(5)\phi(7^2)\phi(11)$.
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