¿La suma de dos funciones periódicas es periódica?

Question

Tengo el siguiente párrafo tomado del material de estudio de Stanford.

Pregunta: ¿Es la suma de dos funciones periódicas periódica?
Respuesta: Supongo que la respuesta es no si eres Matemático, sí si eres Ingeniero, es decir, no si crees en números irracionales y lo dejas así, y sí si calculas cosas y trabajas con aproximaciones.

Esto me parece algo interesante. Como ingeniero, ¿puedo asumir siempre que la suma de funciones periódicas es siempre periódica?

Answer 1

Es más porque para los ingenieros, los periodos tienden a tener divisores comunes y, por lo tanto, la suma de dos funciones de periodos $n x$ y $m x$ con $n,m∈ℕ$ es entonces $\mathrm{lcm}(n,m)x$.

Por ejemplo, en matemáticas el contraejemplo usual es $\sin(x)$ y $\sin(x\sqrt 2)$ y es difícil encontrarse en esa situación en la vida real.

Otro ejemplo, que resulta ser muy extraño y nunca sucederá en la práctica: existen dos funciones periódicas $f$ y $g$ tales que su suma es la función identidad en $\mathbb R$ (sí, $∀x∈ℝ~~f(x)+g(x)=x$). Pero esta vez, incluso en matemáticas es difícil encontrarte en esta situación. (Ver esto para saber cómo hacerlo, pero es un spoiler, es realmente divertido investigarlo por ti mismo).

Answer 2

Sea $f$ y $g$ dos funciones periódicas no constantes continuas de $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$. Sea $a>0$ el periodo más pequeño de $f$ y $b$ el periodo más pequeño de $g.

Encuentra una condición necesaria y suficiente para que $f + g$ sea periódica.

Observa que si $b$ es un múltiplo de $a$, entonces $f+g$ es claramente periódica.

Además, si $\frac{a}b \in \mathbb{Q}$, donde $\frac{a}b=\frac{p}q$, entonces $aq=bp$ es claramente un periodo de $f+g$

Esta condición es en realidad necesaria.

Prueba. Por contradicción, supongamos que $\frac{a}b \notin \mathbb{Q}$ y que $f+g$ es periódica y $c$ es el periodo más pequeño de $g$, para todo $x\in \mathbb{R}$ tenemos, $$ f(x+c)+g(x+c)=f(x)+g(x), $$ Lo cual es mejor reescrito en la forma invariante: $$ f(x+c)-f(x)=g(x)-g(x+c) $$ Denotemos $\gamma(x)$ como el valor común, entonces para $k,l$ enteros encontramos $$ \gamma(x + ka + lb) = f (x + ka + lb + c) - f (x + ka + lb) $$ $$ = f (x + lb + c) - f (x + lb) $$ $$ = \gamma(x + lb) = g (x + lb + c) -g (x + lb) = g (x + c) -g (x) = \gamma(x) $$ Por lo tanto, todos los reales de $a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}$ son un periodo de $\gamma$ Pero $a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}$ es denso en $\mathbb{R}$ porque $\frac{a}b \notin \mathbb{Q}$.

Por lo tanto, $\gamma$ es $\epsilon$-periódico para todo $\epsilon$.

Como $\gamma$ es continua, es necesariamente constante: $$ \gamma=\gamma_0 $$ Además, $$ f(Id+c) = f + \gamma_0, $$ Entonces para todo real x tenemos, $$ f(x+nc)=f(x)+n\gamma_0 $$ $$ \Longrightarrow \gamma_0=0 $$ porque $f$ es continua y periódica, por lo tanto $f$ está acotada.

Por lo tanto, $c$ es un periodo común de $f$ y $g$.

Entonces $c$ está en $a\mathbb{N^*}\bigcap b\mathbb{N^*}$, pero es vacío porque $\frac{a}b \notin \mathbb{Q}$. QED

Answer 3

Tu pregunta es interesante pero un poco vaga. (Tampoco está completamente claro que sea una pregunta de matemáticas, pero creo que habrá contenido matemático).

Déjame simplemente llevar la discusión en lo que creo que es la dirección correcta. Sea $\frac{a}{b}$ cualquier número racional distinto de cero. Entonces

$f_{a/b}(x) = \sin x + \sin \frac{a}{b} x$ es periódica, por ejemplo con período $2 \pi b$

mientras que

$g(x) = \sin x + \sin \pi x$ no es periódica. (¡Esto no es completamente obvio! Ver aquí para una demostración detallada).

Sin embargo, hay números racionales $\frac{a}{b}$ que están arbitrariamente cerca de $\pi$, por lo que la función no periódica $g$ es el límite de funciones periódicas.

Creo que el núcleo de la cuestión es: ¿todos estarían de acuerdo (¿verdad?) en que cada una de las funciones $f_{a/b}$ ocurre naturalmente en la ingeniería, por ejemplo, en el análisis más básico de armónicos. Desde una perspectiva matemática, la función $g$ parece igualmente "plausible" (y, hablando matemáticamente, es un límite puntual de funciones "naturalmente de ingeniería"). Pero, ¿implica eso que $g$ es una función "naturalmente de ingeniería"? Quizás no...

O, para ser un poco más "meta":

¿Es la noción de funciones "naturalmente de ingeniería" matemáticamente coherente? ¿Es natural o útil en ingeniería?

Answer 4

Creo que ya sabes esto, ¿verdad?

Si $f$ y $g$ son dos funciones periódicas con períodos $T_{f}$ y $T_{g}$ respectivamente, entonces si la razón $T_{f}/T_{g}$ es racional, entonces para cualquier función $z(u,v)$, la función $h(t) = z(f(t),g(t))$ también es periódica.

Y también sabes que esto falla cuando la razón $T_{f}/T_{g}$ no es racional.

¿Pero por qué?

La forma de pensar en esto es considerar el período de la función $h(t)$ definida anteriormente. Supongamos que la razón $T_{f}/T_{g} = m/n$ donde $m$ y $n$ son primos relativos (asumamos sin pérdida de generalidad que $T_{g} \leq T_{f}$, de manera que $m \leq n$). Entonces, en un sentido significativo, $n$ da una indicación de qué tan relacionados están los dos períodos: cuanto mayor sea $n$, menos superposición tendrán.

En general, sabemos que el período de $h$ será el mínimo común múltiplo de $T_{f}$ y $T_{g}$, que será $nT_{f}$. Ahora, ¿qué sucede cuando $n$ tiende a infinito? ¡El período de $h también tiende a infinito! Cuando $T_{f}$ y $T_{g}$ son "primos relativos", el período de $h se vuelve infinito, lo que significa que $h$ ya no es periódica.

En un contexto de ingeniería, esto no es realmente relevante, ya que todo tiende a hacerse discretamente, por lo que $n$ estará acotado. Pero en el ámbito puro, no hay nada que impida que el período de $h$ sea infinito.

Answer 5

Digamos que tienes dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ con períodos $T_1$ y $T_2$ respectivamente, entonces $$ f(x+nT_1) = f(x) \\ g(x+k T_2) = g(x) $$ donde $n$ y $k$ son enteros.

Ahora, considera su suma $h(x) = f(x) + g(x)$. Para que esta función sea periódica algún número $T_3$ debe existir, de tal forma que $$ h(x+T_3) = f(x + T_3) + g(x + T_3) $$ y por lo tanto $$ nT_1 = kT_2 $$ debe cumplirse, lo cual es posible solo si $$ \frac {T_1}{T_2} = \frac kn \in \mathbb Q $$ así que, como puedes ver, la respuesta es ambigua. Independientemente de cuáles sean los períodos, la suma de dos funciones periódicas puede ser periódica o aperiódica. Lo que realmente importa es la razón de los dos períodos.

A menos que la pregunta sea

Pregunta: ¿La suma de dos funciones periódicas es siempre periódica?