¿Podemos alterar Hilbert ' axiomas s a $\mathbb{Q}^3$ como un modelo único?

Question

Podemos alterar los axiomas de Hilbert tener $\mathbb{Q}^3$ como un modelo único?

La crítica axiomas parecen ser los axiomas de congruencia IV.1 y IV.4, y es de suponer que la línea de integridad axioma V. 2.

Pero, ¿cómo van a ser modificados?

IV.1 puede ser reemplazado por requerir que hay ejemplos de lo contrario (la irracionalidad de $\sqrt{2}$) y apropiadamente relajante "congruente" a "casi congruentes" (= "arbitrariamente cerca de congruencia").

Pero, ¿qué acerca de la línea de integridad entonces, ya que esto podría ser posible agregar irracional puntos a $\mathbb{Q}^3$ de manera tal que la modificación de los axiomas todavía?

Answer 1

En el texto de

'Si a, B son dos puntos en una línea, y si a es Un punto sobre el mismo o en otro de la línea a' , entonces, a un mismo lado de Una' en la línea recta' , siempre podemos encontrar un punto B de modo que el segmento AB es congruente con el segmento a'B"

se debe señalar que un' es paralela o perpendicular a una, y el mismo con los ángulos. Axioma de arquímedes todavía es necesario y la última podría ser reemplazado con casi frente a uno:

Una restricción de un conjunto de puntos en una línea con su orden y congruencia de las relaciones que preserve las relaciones existentes entre los elementos originales, así como las propiedades fundamentales de línea de orden y congruencia, que se desprende de los Axiomas I-III y de la V-1 es imposible.

Ahora podríamos tomar racional de los múltiplos de cualquier segmento de una línea (Thet depende de la similitud y tal vez el axioma de Pasch), y debido a axioma de la lucha contra la integridad, la no otros segmentos son posibles.