¿La regla de L'Hopital es aplicable a funciones complejas?

Question

Tengo una pregunta sobre algo que me intriga. He leído en algún lugar que la regla de L'Hôpital también se puede aplicar a funciones complejas, siempre y cuando sean analíticas. Entonces, si tengo por ejemplo:

$$\lim_{z \rightarrow 0} \frac{\log(1+z)}{z} \stackrel{?}{=} \lim_{z \rightarrow 0} \frac{1}{(1+z)} = 1$$

Ahora me pregunto si esto es correcto. Además, si tomamos $|z|<1$, ¿seguiría siendo correcto?

Gracias,

Answer 1

La regla de L'Hopital es una afirmación local: concierne al comportamiento de funciones cerca de un punto particular. Los problemas globales (multi-svaluedez, cortes de rama) son irrelevantes. Por ejemplo, si consideras $\lim_{z\to 0}$, entonces es automáticamente que solo se juegan valores pequeños de $z$. Decir "toma $|z|<1$" es redundante.

Generalmente, tienes un punto $a\in\mathbb C$ y algún vecindario de $a$ en el que $f,g$ son holomorfos. Si $f(a)=g(a)=0$, entonces $$\lim_{z\to a}\frac{f(z)}{z-a}=f'(a),\qquad \lim_{z\to a}\frac{g(z)}{z-a}=g'(a) \tag{1}$$ por lo tanto $$\lim_{z\to a}\frac{f(z)}{g(z)}= \lim_{z\to a}\frac{f(z)/(z-a)}{g(z)/(z-a)} =\frac{f'(a)}{ g'(a)}$$ Nota que lo anterior es un caso especial simple de la regla de L'Hopital, porque tenemos (1). Básicamente es solo la definición de derivada.

Answer 2

Suponga que $f, g$ son holomorfas en algún vecindario de $w \in \mathbb C$ y que $f(w) = g(w) = 0$ . Podemos entonces expandir ambas funciones en series alrededor de $w$ con algún radio de convergencia positivo:

$f(z) = \sum_ {n = m} ^ \infty a_n \cdot (z-w) ^ n = (z-w) ^ m \cdot \big(a_{m} + a_ {m + 1} (z-w) + a_ {m + 2} (z-w) ^ 2 + \ldots \big) \quad m> 0 \quad a_m \neq 0$

$g(z) = \sum_ {n = k} ^ \infty b_n \cdot (z-w) ^ n = (z-w) ^ k \cdot \big(b_{k} + b_ {k + 1} (z-w) + b_ {k + 2} (z-w) ^ 2 + \ldots \big) \quad k> 0 \quad b_k \neq 0$

Inmediatamente se sigue de esto que:

1. Si $\ m = k\ $ entonces $\ \lim_ {z \to w} \frac {f (z)} {g (z)} = \frac {a_m} {b_k}$
2. Si $\ m> k\ $ entonces $\ \lim_ {z \to w} \frac {f (z)} {g (z)} = 0$
3. Si $\ m entonces$\ \lim_ {z \to w} \frac {| f (z) |} {| g (z) |} = \infty $

Ahora
$\ f'(z) = \sum_ {n = m} ^ \infty na_n \cdot (z-w) ^ {n-1} = (z-w) ^ {m-1} \cdot \big (ma_ {m} + (m + 1) a_ {m + 1} (z-w) + \ldots \big)$
y
$\ g'(z) = \sum_ {n = k} ^ \infty nb_n \cdot (z-w) ^ {n-1} = (z-w) ^ {k-1} \cdot \big (kb_ {k} + (k + 1) b_ {k + 1} (z-w) + \ldots \big)$

Aplicando la misma lógica a $f ', g'$ concluimos que en los 3 casos $$\lim_ {z \to w} \frac {f (z)} {g (z)} = \lim_ {z \to w} \frac {f' (z)} {g' (z)}$$ (con la comprensión de que en el caso 3 se necesita tomar el valor absoluto de la razón)

Observaciones:

1. También podría intentar aplicar la misma lógica cuando $f, g$ tienen ambos un polo de orden positivo finito en $w$ (análogo al caso de $\infty/\infty$ de L`Hopital). Los argumentos y la conclusión son válidos (la única diferencia es que $m, k$ son ambos negativos). Aun así, esto no tiene ningún valor práctico ya que el orden de los polos simplemente aumenta en uno en cada paso. Tendrás $\infty/\infty$ para siempre.

2. Por otro lado, en el caso de $0/0$ , el proceso está garantizado de terminar (a menos que $f = g \equiv 0$ ) - en algún paso finito obtendrás que (al menos) uno de $f ^ {(n)} (w), g ^ {(n)} (w)$ es diferente de cero y luego $$\lim_ {z \to w} \frac {f (z)} {g (z)} = \frac {f ^ {(n)} (w)} {g ^ {(n)} (w)}$$