¿Por qué $Q[\pi]$ no es un campo?

Question

Estoy teniendo problemas para ver cómo aplicar la definición de trascendental para ver esto. ¡Gracias!

Answer 1

Si $\mathbb{Q}[\pi]$ un campo, $\pi$ tendría una inversa. Cada elemento en $\mathbb{Q}[\pi]$ es de la forma $r_0+r_1\pi+r_2\pi^2+\cdots+r_n\pi^n$. Lo contrario de $\pi$ causaría $(r_0+r_1\pi+r_2\pi^2+\cdots+r_n\pi^n)\pi=1$. Pero esto no es posible, como esto implicaría $\pi$ es raíz de un polinomio con coeefficients racional, que no lo es (es trascendente).

Answer 2

Sugerencia $\ $aviso $\:\pi\:$ trascendental $\rm\Bbb Q\:\Rightarrow\:\Bbb Q[\pi]\cong \Bbb Q[x].\:$ pero un anillo polinómico no puede ser un campo desde if $\rm\ x^{-1}\! = f(x)\in\Bbb Q[x]\ $ y $\rm\ x \; f(x) = 1 \: \Rightarrow\: 0 = 1,\ $ evaluando en $\rm\ x = 0.$

Nota $\ $ la prueba anterior tiene un muy instructivo interpretación universal.