encontrar el área máxima posible de $\triangle{ABC}$

Question

Dejemos que $ABC$ ser de triángulo con $\angle BAC = 60^\circ$ . Sea $P$ sea un punto en su interior de forma que $PA=1, PB=2$ y $PC=3$ . Encuentra el área máxima del triángulo $ABC$ .

Tomé la reflexión del punto $P$ sobre los tres lados del triángulo y los uní a los vértices del triángulo. Así obtuve un hexágono con el doble de área que el triángulo, con un ángulo $120$ y los lados $1,1,2,2,3,3$ . Tenemos que maximizar el área de este hexágono. Para ello, utilicé algo de trigonometría pero se me complicó mucho y no pude obtener la solución.

Answer 1

Dejemos que $\theta=\measuredangle PAB$ en el triángulo que usted especifique. A continuación, $\measuredangle PAC=60°-\theta$ .

Por la ley de los cosenos,

$$2^2=1^2+c^2-2\cdot 1\cdot c\cdot \cos\theta$$ $$3^2=1^2+b^2-2\cdot 1\cdot b\cdot \cos(60°-\theta)$$

Resolviendo esas ecuaciones para $b$ y $c$ ,

$$c=\cos\theta+\sqrt{\cos^2\theta+3}$$ $$b=\cos(60°-\theta)+\sqrt{\cos^2(60°-\theta)+8}$$

Como el área del triángulo es $\frac 12bc\sin A$ y $A=60°$ Al juntarlos todos, obtenemos

$$Area=\frac{\sqrt 3}{4}\left(\cos(60°-\theta)+\sqrt{\cos^2(60°-\theta)+8}\right)\left(\cos\theta+\sqrt{\cos^2\theta+3}\right)$$

donde $0°<\theta<60°$ . Esto parece un oso para maximizar analíticamente, así que lo hice numéricamente con un gráfico y obtuve

$$Area_{max}\approx 4.66441363567 \quad\text{at}\quad \theta\approx 23.413°$$

Sólo pude obtener cinco dígitos significativos para $\theta$ pero el área máxima debe ser precisa con todos los dígitos indicados. He comprobado esto con una construcción en Geogebra y lo comprueba. WolframAlpha se ha desconectado al intentar encontrar un valor máximo exacto del área del triángulo a partir de mi fórmula.

Answer 2

Dejemos que $\mathcal{A}$ sea el área de $\triangle ABC$ . Sea $\theta$ y $\phi$ sean los ángulos $\angle PAC$ y $\angle BAP$ respectivamente.
Tenemos $\theta + \phi = \angle BAC = \frac{\pi}{3}$ . Como funciones de $\theta$ y $\phi$ las longitudes de los lados $b$ , $c$ y el área $\mathcal{A}$ son:

$$ \begin{cases} c(\theta) &= \cos\theta + \sqrt{2^2-\sin^2\theta}\\ b(\phi) &= \cos\phi + \sqrt{3^2-\sin^2\phi} \end{cases} \quad\text{ and }\quad \mathcal{A}(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{4} c(\theta)b\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) $$ Para que $\mathcal{A}(\theta)$ para lograr el máximo tiene una $\theta$ , necesitamos

$$\frac{d\mathcal{A}}{d\theta} = 0 \iff \frac{1}{\mathcal{A}}\frac{d\mathcal{A}}{d\theta} = 0 \iff \frac{1}{c}\frac{dc}{d\theta} - \frac{1}{b}\frac{db}{d\phi} = 0 \iff \frac{\sin\theta}{\sqrt{2^2-\sin^2\theta}} - \frac{\sin\phi}{\sqrt{3^2-\sin^2\phi}} = 0$$ Esto implica $$\frac{\sin\theta}{2} = \frac{\sin\phi}{3} = \frac13 \sin\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right) = \frac13 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta - \frac12\sin\theta\right) \iff 4\sin\theta = \sqrt{3}\cos\theta$$ y por lo tanto $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) \approx 0.4086378550975924 \;\;( \approx 23.41322444637054^\circ )$$

Además, tenemos $\displaystyle\;\frac{\sin\theta}{2} = \frac{\sin\phi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}\;$ . Sustituyendo esto en la expresión de las longitudes de los lados y del área, obtenemos $$ \begin{cases} c &= \frac{4+\sqrt{73}}{\sqrt{19}}\\ b &= \frac{7+3\sqrt{73}}{2\sqrt{19}} \end{cases} \quad\implies\quad \mathcal{A} = \frac{\sqrt{3}}{8}(13+\sqrt{73}) \approx 4.664413635668018 $$ Tenga en cuenta que la condición $\displaystyle\;\frac{\sin\theta}{2} = \frac{\sin\phi}{3}$ equivale a $\angle ABP = \angle ACP$ . Si uno puede averiguar por qué estos dos ángulos son iguales entre sí cuando $\mathcal{A}$ se maximiza, uno debería ser capaz de derivar todo el resultado aquí sin usar ningún cálculo.

Answer 3

Sea E el punto fuera del triángulo tal que AEPC es un paralelogramo, sea F el punto fuera del triángulo tal que CPBF es un paralelogramo, y sea D un punto fuera de ABC tal que APBC es un paralelogramo. Ahora, se tiene el hexágono AECFBD con lados EC=1,CF=2,FB=3,BD=1, AD=2, EA=3, y se traza la línea EB. Entonces, ADBE y EBFC son iguales (congruentes) y ahora la superficie de un hexágono es el doble de la superficie de ADEB. Ahora, en eso, usted tiene tres lados que se determinan, más AD es paralelo a EB. Ahora considere ADBE. Allí, ED=1,DA=2,AB=3. Sea M perpendicular a EB desde D y sea N perpendicular a EB desde A. Ahora sea EM x, y NB sea y. Sea DM también h. Tenemos que maximizar la superficie de ADEB. Podemos ver que la superficie es la suma de las superficies de NMDA y EMD y ANB. Por lo tanto, es $2h+\frac{hx}{2}+\frac{hy}{2}$ . Las relaciones que tenemos implican de los triángulos EMD y ANB, Ahora, esos son $1=h^2+x^2, 9 = h^2+y^2$ así que $y^2-x^2=8$ y $h^2=1-x^2$ .