Erdős del ejercicio.

Question

He tratado de resolver un ejercicio vi en "Temas en la teoría de los números" (Erdős Y Suranyi)
muchas veces, pero no cada vez que lo intentaba.

Aquí está:

Probar que si $a_1,a_2,\cdots$ es una secuencia infinita cuyos elementos son o $1$ o $-1$, a continuación, para cada positivos $K$, existen números de $b,c,d$ que $$\left |\sum\limits_{i=k}^d a_{ib+c}\right|>K$$
Pero he leído hoy que un problema similar se abra. Mira este resumen.

Así, Erdős sugerido como un ejercicio un problema abierto? O si no ¿alguien puede darme una prueba de la afirmación anterior?
Gracias de antemano.

Answer 1

Esto se deduce del teorema de Roth. Usted puede leer su prueba en [1].

Él no solo muestra que crece sin límites, pero podemos obtener un límite inferior en el orden de crecimiento. A grandes rasgos, podemos garantizar la discrepancia en el orden de $O(n^{1/4})$.

El Erdos Discrepancia problema, que es la conjetura se menciona en un documento que está conectado, es el 5º proyecto polymath, por lo que parte de la información está disponible allí. En particular, hay un explícito solución para el problema de pedir por escrito por Tim Gowers.

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Referencias

[1]: Roth, K. F., Observación con respecto a secuencias de enteros. Acta Arith. 9 1964 257--260. MR0168545 (29 #5806)

Answer 2

Es el ejercicio 12 del capítulo 6.19, donde el problema se da como una "simple e interesante de la aplicación de [Van der Waerden del teorema sobre progresiones aritméticas]".

http://books.google.com/books?id=MTefj5-5OwEC&pg=PA198

Hay una errata en el libro de la declaración del ejercicio que hace mal formado. Probablemente la idea es utilizar Van der Waerden del teorema a demostrar que la discrepancia de progresiones aritméticas en $\lbrace 1,\dots, n \rbrace$ es ilimitado como una función de la $n$. Este es, como dicen, una simple aplicación, ya que para un gran $n$ el conjunto de $+1$'s, o el conjunto de $-1$'s contiene (VdW), una progresión aritmética de longitud mayor que $K$.