Son los estratos de Nakajima carcaj variedades, simplemente conectado? ¿Tienen impar cohomology?

Question

Nakajima se define un tiempo de una buena familia de variedades, llamado "la aljaba de variedades" (a veces con "Nakajima" anexa a la parte delantera para evitar la confusión con otras variedades, se define en términos de aljabas). Estos son los más concisa define como los módulos de ciertas representaciones de ciertos preprojective álgebras.

Voy a estar interesado en la affine (en el sentido de "afín variedad" no "afín Mentira álgebra"), la versión de estos, que es el espacio de moduli de semi-simples representaciones de un cierto preprojective álgebra. Esta variedad es singular, pero se puede dividir en suave estratos que corresponden a la fijación del tamaño de la automorphism grupo de la representación (es decir, un estrato de simples representaciones, uno por la suma de los pares de la no-isomorfo simples, etc.). Me gustaría saber un poco acerca de la geometría de estos estratos. Uno básico (y muy importante para mí) la pregunta es

Son estos estratos simplemente conectado o equivariantly conecta simplemente a la acción de un grupo?

En realidad, yo sé que ellos no son simplemente conectado a partir de algunos ejemplos muy simples (como el nilcone de $\mathfrak{sl}_2$), pero en esos ejemplos no es una acción de un grupo tal que no hay equivariant sistemas locales (si usted está dispuesto a pensar en el cociente como una pila, el cociente es simplemente conectado), por lo que son "equivariantly simplemente conectado."

Del mismo modo, estoy interesado en el cohomology de estos estratos; me gustaría su extraña parte a desaparecer. De nuevo, no hay ninguna esperanza de que esto en la forma más obvia. La única manera en que podría suceder es que equivariantly.

¿El extraño (equivariant) cohomology de estos estratos se desvanecen para cualquier grupo de acción?

permítanme sólo tenga en cuenta en el momento de cierre: yo sería totalmente satisfecho si estos resultados fueron sólo es cierto en lo finito tipo de caso; conozco a un montón de geométrico de las declaraciones de la aljaba de variedades de ir un poco agria, una vez que estás fuera de la finitos tipo de caso.

Si alguien sabe de estos o cualquier otros resultados en la literatura acerca de la geometría de estos estratos, yo sería muy feliz de escucharlos.

Answer 1

Como Ben escribió, hay ejemplos de que no sea simplemente conectado estratos.

Para un carcaj a la variedad correspondiente fundamental de la representación, es, a priori, sólo tiene un pequeño grupo de acción. Por lo general, es lejos de lo homogéneo.

Así que sospecho que la respuesta es NO, aunque no sé un ejemplo concreto.

Pero, yo creo que la pregunta en sí misma no es correcta:

Es cierto que el perverso poleas que aparecen en el empuje de avance de `natural resoluciones " son IC poleas asociados con constante de las poleas. Pero no es porque estrato son simplemente conectado, o equivariantly simplemente conectado. Es a partir de una razón muy diferente:

Esta razón no puede ser visto si uno tratar a un individuo de la aljaba de variedad por separado. Uno puede ver que sólo cuando uno de considerar varios carcaj variedades simultáneamente, y se refieren a una representación. Es, básicamente, porque no es un componente que consiste en un único punto, y otros componentes están `conectados' en algún sentido.

(Cada componente corresponde sólo a un peso de espacio, y teniendo en cuenta varios componentes simultáneamente, se obtiene la estructura de una representación. El único punto corresponde a la de mayor peso vector).

En resumen, la aljaba de variedades no son homogéneos en el sentido convencional, pero tiene sustitutivos de la propiedad (no sé cómo llamarlo) cuando el tratamiento de varios componentes simultáneamente.

Answer 2

No es realmente una respuesta, pero he tenido un problema similar hace un tiempo (yo quería saber el cohomology anillo de ciertos no-libre cocientes). Mi supervisor me dijo que buscara en Bredon homología, pero he encontrado algo diferente a trabajar. Podría ser vale la pena intentarlo!