Encontrar la forma cerrada de $\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n}{kn (k+n)^3}$

Question

Aquí es un reto doble de la serie de pregunta que quiero compartir con ustedes

$$\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n}{kn (k+n)^3}$$

junto con la pregunta: ¿qué herramientas te gustaría emplear para la computación?

EDIT: gracias a usted, no hay necesidad de seguir trabajando. Yo sé cómo hacerlo ahora, pero es un largo camino.

Answer 1

$$\begin{align}&\sum\limits_{n,k=1}^{\infty} \dfrac{H_n}{nk(n+k)^3} \\&= \sum\limits_{m=2}^{\infty}\frac{1}{m^3} \sum\limits_{n=1}^{m-1}\frac{H_n}{n(m-n)} \\&= \sum\limits_{m=2}^{\infty}\frac{1}{m^4} \left(\sum\limits_{n=1}^{m-1}\frac{H_n}{n}+\frac{H_n}{m-n}\right) \\ &=\sum\limits_{m=2}^{\infty}\frac{1}{m^4} \left(\frac{1}{2}(H_{m-1}^2 + H_{m-1}^{(2)})+ H_{m}^2 - H_m^{(2)}\right) \\ & =\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^4} \left(\frac{3}{2}H_{m}^2 - \frac{H_m}{m} -\frac{1}{2} H_m^{(2)}\right)\end{align}$$

donde hemos usado: $\displaystyle 2\sum\limits_{n=1}^{m}\frac{H_n}{n} = H_m^2 + H_m^{(2)}$ e $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{m-1}\frac{H_n}{m-n} = H_m^2 - H_m^{(2)}$

Estas series pueden ser calculadas con herramientas elementales. Por favor marque aquí.La forma cerrada es $\frac{215}{48}\zeta(6) - 3\zeta^2(3)$.