$\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{6^k}{\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)\left(3^k-2^k\right)} $ como un número racional.

Question

$$\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{6^k}{\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)\left(3^k-2^k\right)} $$

Sé que a partir de la relación de la prueba convergest, y yo gráfico en wolfram alpha, y sospecho que la suma es 2; sin embargo, estoy teniendo problemas con la manipulación de la fracción para mostrar el número racional.

ps. Cuando se dice escribir como un número racional significa para escribir el valor de $S_{\infty}$ o de volver a escribir la fracción?

Answer 1

Sugerencia: $$\frac{6^k}{(3^{k+1}-2^{k+1})(3^k-2^k)}=\frac{2^k}{(3^k-2^k)}-\frac{2^{k+1}}{(3^{k+1}-2^{k+1})}$$

Ahora utilice el método de diffrences.

Answer 2

Que el denominador debe sugerir la posibilidad de dividir el término general en fracciones parciales y conseguir un telescópico de la serie de la forma

$$\sum_{k\ge 1}\left(\frac{A_k}{3^k-2^k}-\frac{A_{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}\right)\;,$$

donde $A_k$ muy probable que depende de $k$. Tenga en cuenta que si esto funciona, la suma de la serie se

$$\frac{A_1}{3^1-2^1}=A_1\;.$$

Ahora

$$\frac{A_k}{3^k-2^k}-\frac{A_{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}=\frac{3^{k+1}A_k-3^kA_{k+1}-2^{k+1}A_k+2^kA_{k+1}}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})}\;,$$

así que usted quiere elegir a $A_k$$A_{k+1}$, de modo que

$$3^{k+1}A_k-3^kA_{k+1}-2^{k+1}A_k+2^kA_{k+1}=6^k\;.$$

Las cosas obvias para tratar de $A_k=2^k$, lo que hace que los dos últimos términos cancelar para salir a $3^{k+1}2^k-3^k2^{k+1}=6^k(3-2)=6^k$, e $A_k=3^k$, lo que hace que los dos primeros términos cancelar y sale de $6^k(3-2)=6^k$; ambos trabajan.

Sin embargo, lo que se suma $$\sum_{k\ge 1}\left(\frac{A_k}{3^k-2^k}-\frac{A_{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}\right)\tag{1}$$ to $$\frac{A_1}{3^1-2^1}=A_1$$ es válido sólo si

$$\lim_{k\to\infty}\frac{A_k}{3^k-2^k}=0\;,$$

puesto que el $n$-ésima suma parcial de $(1)$ es

$$A_1-\frac{A_{n+1}}{3^{n+1}-2^{n+1}}\;.$$

La comprobación de las dos posibilidades, vemos que

$$\lim_{k\to\infty}\frac{2^k}{3^k-2^k}=0,\quad\text{but}\quad\lim_{k\to\infty}\frac{3^k}{3^k-2^k}=1\;,$$

así que debemos elegir $A_k=2^k$, y la suma de la serie es, de hecho,$A_1=2$.