Deal or No Deal: ¿Monty Hall?

Question

Esta pregunta está inspirada en otra pregunta publicada hoy: Problema de Monty Hall ampliado .

Así que pensé que en los comentarios y respuestas se planteó un gran punto sobre el aumento de las puertas a 100 o algo mucho más grande, y usar eso como una manera de ayudar a visualizar por qué el cambio es siempre la mejor opción cuando se trata de explicar el problema a los demás.

Y entonces pensé en el programa de juegos, Deal or No Deal. Para los que no estén familiarizados con Deal or No Deal: hay 26 casos, cada uno de los cuales contiene cantidades de dinero que van desde 0,01 dólares hasta un millón de dólares. Eliges un maletín, y es "tuyo" y está fuera de juego (esto es análogo a elegir la primera puerta en el problema de Monty Hall). A lo largo del juego abres 24 de los casos restantes, y ves cuánto dinero había en cada caso.

Al final, te quedas con 2 casos: "tu" caso, que elegiste al principio, y el otro caso que no abriste. Aquí es donde se convierte en Monty Hall: puedes optar por quedarte con tu caso, o cambiar de caso y quedarte con el otro.

Así que lo que me pregunto es si se aplica aquí la lógica de Monty Hall de "cambiar siempre de puerta/caso". Las diferencias:

1) No se trata de que haya simplemente 1 coche y un montón de cabras. Todos los valores monetarios son diferentes en cada caso. No siempre vas a acabar eligiendo entre un millón de dólares o algo pequeño... Los dos casos restantes podrían acabar siendo \$10,000 and \$ 250,000. O puede ser \$10 and a million dollars. Or \$ 10 y 100 dólares.

2) Creo que parte de lo que hace que Monty Hall funcione es que el coche siempre queda en juego. Tu primera opción tiene una probabilidad de 1/26 de elegir el caso del coche/millón de dólares. Pero en Deal or No Deal, el caso del coche/millón de dólares puede ser eliminado a mitad del juego. Así que creo que eso probablemente cambia las cosas.

Mis primeros pensamientos vagos son... Si llegas al final y el caso del millón de dólares todavía es en juego, se aplica Monty Hall y debes cambiar de caso. Porque es la misma idea; tenía una oportunidad de 1/26 en el millón. 24 han sido eliminadas. Es mucho más probable que el otro caso tenga el millón.

Pero si el millón es eliminado mientras juegas, ¿qué pasa entonces? ¿No puede Monty Hall ayudarnos, porque no se puede comparar la probabilidad de seleccionar el caso del millón porque ahora es cero? Estoy tratando de pensar en una manera de averiguar si se debe cambiar o no, en un intento de obtener el caso con la mayor cantidad de dinero . Sabemos que ya no hay 1.000.000 de dólares. Pero, ¿hay algo que podamos hacer para decidir qué caso tiene más valor? ¿O esto está fuera de los límites de Monty Hall?

Answer 1

La clave es: Monty sabe dónde está el coche (y nunca abrirá esa puerta). Nosotros no sabemos dónde está el millón de dólares, por lo que es posible que abramos esa puerta. Para ilustrarlo, veamos cómo difiere el diagrama de árbol para los dos casos.

Supongamos que tenemos 3 puertas, A, B y C y que nuestro coche/millón está en la puerta A. Suponemos además que siempre cambiaremos. (Una vez que entendemos esto, podemos extenderlo a $n$ puertas y ver que la situación será similar).

Caso 1: Problema de Monty Hall

Si cambiamos, $P($ Ganar $) = \frac{2}{3}$ .

Caso 2: Escenario de acuerdo o no acuerdo

Obsérvese que nuestra suposición en la pregunta es que sólo miramos la situación si el millón no ha sido abierto. Así que, en esencia, estamos calculando una probabilidad condicional. Si cambiamos,

$P($ Ganar $|$ Millón sin abrir $) = \displaystyle \frac{P(\textrm{Win}\cap \textrm{Million not opened})}{P(\textrm{Million not opened})} = \frac{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}=\frac{1}{2}$ .

Answer 2

"Posibilidades de recoger un millón de dólares inmediatamente: 1/26

Probabilidades de que el millón no sea elegido de inmediato: 25/26

Si consigues escoger 24 maletines, y aún queda 1 millón de dólares cuando se te da la opción de cambiar de maletín a falta de 2, la probabilidad de que el otro maletín (no el que escogiste) tenga 1 millón de dólares es de 25/26. CAMBIAR!"

Literalmente, todo lo que hay que hacer es sustituir "1 millón" por "1" en este escenario y las falacias atroces en esta lógica son abiertamente obvias.

En pocas palabras, en un escenario con 26 casos, hay una probabilidad de 1/26 de que se elija el caso del millón. Posteriormente, hay una probabilidad de 1/25 de que el 1 permanezca después de la selección aleatoria, dado que eliminar aleatoriamente 24 de 25 casos equivale a seleccionar aleatoriamente un caso. Entonces, ¿cuáles son las probabilidades de que el caso elegido sea 1 millón y el caso restante sea 1? (1/26)×(1/25)=1/650

Ahora, las probabilidades de seleccionar el caso 1 al principio son 1/26, y de nuevo tenemos una probabilidad de 1/25 de que el caso 1 millón de dólares se quede al final. Entonces, ¿cuáles son las probabilidades de seleccionar el caso 1 y de que el caso 1 millón permanezca al final? (1/26)×(1/25)=1/650

Las probabilidades de seleccionar primero el caso 1 o el caso 1 millón son 2/26. La probabilidad de que el otro de estos dos casos se mantenga hasta el final es de nuevo 1/25. Por lo tanto, la probabilidad de que ocurra cualquiera de estos escenarios es (2/26)×(1/25)=2/650

En conclusión, la probabilidad de que los premios de 1 millón y 1 se mantengan, independientemente de cuál se haya elegido y cuál se mantenga, es de 2/650. La probabilidad de que el millón sea el elegido es de 1/650. La probabilidad de que el 1 millón sea el caso restante es de 1/650. Esto significa que sólo hay DOS escenarios en los que los casos 1 millón y 1 son los dos últimos casos en pie, y es IGUAL de probable que el caso 1 millón (o 1) sea el caso seleccionado, o el caso restante.

Sé que suena parecido al Problema de Monty Hall, pero como TODAS las selecciones son aleatorias (NO es el caso en el MHP,) en realidad sólo requiere la aplicación de una estadística MUY elemental para determinar la probabilidad de estos escenarios. Hay 325 combinaciones diferentes de los dos casos finales (suponiendo 26 valores diferentes), y para cada ocurrencia de dos casos restantes, independientemente del valor (llámelos x e y), hay una probabilidad de 50/50 de que x o y sea el caso seleccionado o el caso restante.

Answer 3

La probabilidad de adivinar correctamente el caso del millón de dólares al principio es $\frac1{26}$ . Así que si se deja al final entonces hay un $\frac1{26}$ probabilidad de que la permanencia sea la opción ganadora (los números se fijarán más adelante).

Ahora considera el cambio. La probabilidad de adivinar incorrectamente el caso del millón de dólares es $\frac{25}{26}$ . Después, adivinar todos los casos menos el del millón de dólares es $\frac{24!}{25!}$ . Multiplicado por $\frac{25}{26}$ Esto nos deja con un $\frac1{26}$ posibilidad de cambiar dándonos el caso del millón de dólares. Como ambas partes tienen la misma posibilidad, tenemos una $\frac{50}{50}$ posibilidad de conseguir el caso que queremos al final. El $\frac1{26}$ El azar en ambos lados del problema también muestra que esto funciona para todos los casos, elegidos o no, lo que significa que la probabilidad de obtener cualquier caso es igual $\frac1{26}$ a todos los demás casos, y el trato o no trato es pura suerte.

Answer 4

Si el concursante sabía de antemano que acabaría en una situación en la que quedaban dos maletines, donde uno de ellos era el maletín del millón de dólares, entonces debería cambiar.

En Monthy Hall, sabes que el anfitrión abrirá una puerta con una cabra detrás. Si el anfitrión no supiera qué puerta tiene el coche detrás, entonces sería 50/50. Hay una regla que se aplica a la puerta con el coche, no se puede abrir.

Para darle la vuelta a la pregunta. ¿Por qué la probabilidad de abrir el maletín de 0,1 dólares no es superior al 50%? ¿Por qué específicamente el maletín de un millón de dólares? Hay que aplicar una regla, que es que el maletín del millón de dólares no se puede abrir. Dado que hay una probabilidad bastante grande de que se abra durante el transcurso del juego, se termina con una probabilidad de 50/50.

No es exactamente responder con matemáticas, pero espero que esto ayude a alguien a entender la diferencia.

Answer 5

Probabilidades de recoger un millón de dólares inmediatamente: 1/26

Probabilidades de que el millón no sea elegido de inmediato: 25/26

Si se termina de elegir 24 maletines, y aún queda 1 millón de dólares cuando se da la opción de cambiar de maletín cuando quedan 2, las probabilidades de que el otro maletín (no el que usted eligió) tenga 1 millón de dólares son 25/26 . ¡CAMBIO!