Continuidad y límite de

Question

$f: (0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ es continua y $f(x) \le f(nx) \ \ \forall{{x>0},{n\in\mathbb{N}}} $

Probar que f tiene límite (puede ser infinito)

No sé qué hacer algo con propiedad de Darboux.

Answer 1

$\textbf{Lemma}$: Vamos a $0<a<b$. Entonces no existe $N>0$ tal que $(N,\infty)\subseteq\cup_{n=1}^\infty (na,nb)$.

$\textbf{Proof}:$ Deje $k_0$ ser lo suficientemente grande tal que $\frac{k+1}{k}<\frac{b}{a}$ todos los $k\geq k_0$. A continuación, $(ka,kb)$ $((k+1)a,(k+1)b)$ no trivial de la intersección de todos los $k\geq k_0$. Elija $N=k_0$.

Ahora supongamos que existen dos secuencias de $\{x_n\}$ $\{y_n\}$ tal que $\lim x_n=\lim y_n=\infty$ $\lim f(x_n)=x<y=\lim f(y_n)$ algunos $x,y\in [-\infty,+\infty]$. Elija $x<w<y$ y deje $n_0$ ser tal que $f(x_n)<w$ $f(y_n)>w$ todos los $n\geq n_0$. Deje $a=y_{n_0}$ $b=y_{n_0}+\delta$ algunos $\delta>0$ tal que $f(z)>w$ todos los $z\in (y_{n_0},y_{n_0}+\delta)$. Usando el lema anterior, podemos concluir que existe una $N$ tal que $(N,\infty)\in \cup_{n=1}^\infty (na,nb)$ y esto con el hecho de que $f(z)\leq f(nz)$ todos los $n$, y para todos los $z$ implica que $f(z)>w$ todos los $w>N$, lo que contradice el hecho de que $f(x_n)<w$ todos los $n>n_0$.