Hay una medida en $\mathbb{N}$? (¿Cuál es la probabilidad de que un entero aleatorio de $\mathbb{N}$ es incluso?)

Question

El más estudio, me doy cuenta de que realmente no saben nada. suspiro. Ahora, aquí está mi nuevo problema. Recogiendo un entero al azar del conjunto entero $\mathbb{N}$. ¿Cuál es la probabilidad de que el número entero sería aún? ¿Cuál es la probabilidad de que el número entero sería extraño?

Ok, entiendo, que podemos tener un bijection y todo, y mostrar que es $\frac{1}{2}$ - en ambos casos - pero ¿cómo? Podemos introducir alguna medida para $\mathbb{N}$ - que muestra que el conjunto de los números pares $\mathbb{E}$ y el conjunto de los números impares $\mathbb{O}$ son, compartir 50-50? Gracias a bijection tenemos todos de ellos $\aleph_0$.

Como de costumbre, estoy completamente perdido aquí, por favor ayuda.

Answer 1

Como André Nicolas no es un countably aditiva de probabilidad, medida en $\mathbb{N}$ que asigna igual medida que en los embarazos únicos.

La manera en que las personas suelen tratar con ese tipo de preguntas es considerar natural de la densidad.

Un subconjunto $A \subseteq \mathbb{N}$ dice que es natural de la densidad (o densidad asintótica) $\alpha \in [0, 1]$ si $$\lim_{n\to\infty}\frac{|A\cap\{1, \dots, n\}|}{n} = \alpha.$$

Como André Nicolas señaló también, el conjunto de los números enteros positivos, natural de la densidad de $\frac{1}{2}$.

Answer 2

No hay ninguna (countably aditivo) probabilidad medida en $\mathbb{N}$ que asigna igual peso a todos los puntos.

Pero fácilmente podemos obtener la siguiente densidad de resultado. Deje $E(n)$ el número de incluso números naturales hasta el $n$. A continuación,$\lim_{n\to\infty}\frac{E(n)}{n}=\frac{1}{2}$.

Answer 3

Usted puede mirar el recuento de medida. Esto generalmente lleva a la densidad de argumento:

Deje $n \in \mathbb{N}$ y el uso de la función de recuento $o(n) = \text{the number of odd numbers in [0,n]}$. Ver que $\lim_{n \ \rightarrow \infty} \frac{s(n)}{n} = 1/2$. Alternatively, see that $s(n) = n/2 + O(1)$.

Por similares argumentos (que habitualmente tiene un número teórico o ciencias de la computación sabor, y lleno de la notación big O), ver el teorema de los números primos, y la de Bruijn función (densidad de suave enteros).