Birational y fielmente plano $\implies$ isomorfismo

Question

Deje $A \subseteq B$ ser parte integral de dominios con el mismo campo de fracciones. Suponga que $A \to B$ es fielmente plana. ¿Por qué tenemos $A=B$?

Este es un ejercicio de Matsumura, el libro. Aquí está mi idea: Si $b \in B$, considere la posibilidad de $I = \{a \in A : ab \in A\}$. Este es un ideal de a $A$. Por asumption $I \neq 0$, y nuestra meta es mostrar que $I=A$. Esto es suficiente para demostrar $IB=B$. Pero, ¿cómo podemos lograr esto?

Answer 1

Como se señaló en los comentarios, el problema es fácil si sabemos que $B$ es una localización de $A$, porque entonces el codiagonal $\nabla : B \otimes_A B \to B$ es un isomorfismo, y así podemos (co)cambio de base de a $A \to B$ a lo largo de sí mismo para deducir que $A \to B$ es un isomorfismo. (Aquí es donde usamos el hecho de que $A \to B$ es fielmente plano.) Pero, de hecho, $\nabla : B \otimes_A B \to B$ es un isomorfismo si y sólo si $A \to B$ es un epimorphism, y esto es cierto si $B$ es plana y se incrusta en $\operatorname{Frac} A$ $A$- álgebra. (Ver comentario abajo).