Si $\sigma_n=\frac{s_1+s_2+\cdots+s_n}{n}$ entonces $\operatorname{{lim sup}}\sigma_n \leq \operatorname{lim sup} s_n$

Question

Esta es una pregunta del libro Métodos de análisis real por R. R. Goldberg.

Si $(s_n)$ es una secuencia de números reales y si $$\sigma_n=\frac{s_1+s_2+\cdots+s_n}{n}$$ entonces demuéstralo: $\operatorname{{lim sup}}\sigma_n \leq \operatorname{lim sup} s_n$ .

No tengo ni idea de cómo empezar a trabajar en este problema. Por favor, ayuda. Gracias.

Answer 1

Fijar un número entero $k$ . Sea $n\geqslant k$ . Entonces $$\sigma_n=\frac 1n\sum_{j=1}^ks_j+\frac 1n\sum_{j=k+1}^ns_j\leqslant \frac 1n\sum_{j=1}^ks_j+\frac{n-k}n\sup_{l\geqslant k}s_l.$$ Ahora toma en ambos lados el limsup cuando $\color{red}{n\to +\infty}$ : obtenemos el resultado deseado.

Tomando $s_n:=(-1)^n$ podemos ver que la desigualdad puede no ser una igualdad.

Answer 2

[Yo mismo he estado trabajando con Goldberg y encontré esta pregunta buscando una explicación. Creo que al final lo he resuelto].

Como esto es de Goldberg, señalaré que el enunciado del problema sugiere usar su Teorema 2.9L, que esencialmente usa la interpretación en este artículo de Wikipedia como alternativa definición de $\limsup$ y $\liminf$ :

1. $\limsup_{n\to \infty} s_n = M$ significa para cualquier $\epsilon > 0$ , (a) $s_n < M + \epsilon$ para todos los valores de $n$ ; (b) $s_n > M - \epsilon$ para infinitos valores de $n$
2. (se ha omitido una definición similar para $\liminf$ ).

(Menciona que es una relación "si" y "sólo si", mientras que sólo demuestra la dirección "si").

Si te adelantas un poco a 2.11B, Goldberg demuestra algunas cosas sobre la sumabilidad de Cesàro $(C,1)$ y te acercas mucho a la prueba deseada porque utiliza la misma técnica que insinuó en este problema.

Para el problema particular, según su definición alternativa, para algunos $N_0$ , $s_n < M + \epsilon$ si $n > N_0$ (y de manera similar, para algunos $N_1$ , todos $s_n < M + \frac{\epsilon}{2}$ si $n > N_1$ ).

¿Podemos conseguir $\sigma_n$ para que eventualmente encaje debajo de $M + \epsilon$ ¿también?

Procediendo como en la respuesta aceptada y dividiendo la suma en dos, el objetivo final se convierte en encontrar una cantidad suficientemente grande $N_2$ tal que $\sigma_n$ (que es igual a la suma de esas dos sumas) también es menor que $M + \epsilon$ (para la arbitrariedad $\epsilon$ y todos $n > N_2$ ).

Una imagen puede ayudar a motivar esto:

La intuición es "dejar algo de espacio" entre $M + \frac{\epsilon}{2}$ y $M + \epsilon$ tal que la suma de las porciones para el índice inferior $s_i$ en $\sigma_n$ puede equilibrarse en alguna parte del $\frac{\epsilon}{2}$ -franja alta que se extiende desde $N_1$ hasta el infinito.

(Aquí estoy pensando en las sumas discretas como análogas a las áreas: ¿puede el área antes de $N_1$ encaja en el área entre $M+\frac{\epsilon}{2}$ y $M+\epsilon$ ? La respuesta me parece claramente afirmativa basándome en la imagen, pero todavía tengo que demostrar la existencia de algún $N_2$ que funciona).

El siguiente razonamiento parece funcionar (al menos si $M \ge 0$ (que probablemente se puede hacer más riguroso traduciendo cada término de la secuencia hacia arriba por una constante bien elegida y deshaciendo eso después):

\begin{align} \sigma_n &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{N_1}s_i + \frac{1}{n}\sum_{i=N_1+1}^n s_i \\\\ &\le \frac{N_1}{n}\max_{1\le i\le N_1}|s_i| + \frac{n-N_1}{n}(M + \frac{\epsilon}{2}) \\\\ &= M + \frac{\epsilon}{2} - \frac{N_1}{n}(M + \frac{\epsilon}{2}) + \frac{N_1}{n}\max_{1\le i\le N_1}|s_i| \end{align}

Haciendo un poco de matemáticas desordenadas queremos que la suma de los dos últimos términos sea menor que $\frac{\epsilon}{2}$ para que todo el $\sigma_n \le M + \epsilon$ (y por lo tanto $\limsup_{n\to \infty} \sigma_n \le M$ ). Cualquier $n \ge N_2 = \lceil\frac{2N_1}{\epsilon}(\max_{1\le i\le N_1}|s_i| - M - \frac{\epsilon}{2})\rceil$ parece encajar en el proyecto de ley.

Answer 3

He aquí una solución sencilla:

Dejemos que $x^{*}_k = \sup_{k \geq n} \{x_n\}$ . Entonces, $$x^{*}_k \to \limsup_{n \to \infty} \{x_n\}.$$

Por un simple hecho, las medias de una secuencia convergente convergen al mismo límite, por lo que $$\sigma_n^{*} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} x^{*}_j \to \limsup_{n \to \infty} \{x_n\}$$ también. Ahora bien, como $\sigma_n \leq \sigma^{*}_n$ El resultado es el siguiente.