Tirar Todos los Números Del 2 al 12 Con Dos Dados

Question

¿Cuál es el número esperado de veces que se debe lanzar dos justo dados antes de que todos los números del 2 al 12 han aparecido al menos una vez?

Answer 1

Deje $p_i$ denotar la probabilidad de lanzar $i$, por lo que $p_2 = p_{12} = 1/36$, $p_7 = 1/6$, etc. Deje $T_S$ denotar la espera tiempo de espera hasta que todos los números aparecen, suponiendo que el subconjunto $S$ $\{2, \dots, 12\}$ ya ha aparecido. Queremos calcular el $T_\emptyset$.

Si un evento tiene probabilidad de $p$ de incidencia, el número esperado de lanzamientos hasta que se produce el evento es $1/p$. (Ver distribución geométrica.) La probabilidad de que algo fuera de $S$ ser lanzado es $p_{S^c} = \sum_{i\not\in S}p_i$, por lo que el número esperado de lanzamientos hasta que esto suceda es $1/p_{S^c}$. Cuando esto sucede, el número lanzado es $i$ con una probabilidad de $p_i/p_{S^c}$ ( $i \not\in S$ ). Entonces empezamos con $S\cup \{i\}$ y esperar. Por lo tanto,

$$ T_S = \frac{1}{p_{S^c}} + \sum_{i\not\in S} \frac{p_i}{p_{S^c}} T_{S\cup\{i\}}.$$

Podemos utilizar esta recurrencia para calcular el $T_\emptyset$. Hacerlo a mano es (tan lejos como puedo ver) difícil porque hay $2^{11}$ subconjuntos, pero se puede hacer exactamente con un programa de ordenador. La respuesta resulta ser 769767316159/12574325400, que es acerca de 61.2. Sólo para estar seguro de que no hemos cometido un error, podemos comprobar con una simulación de si esto es correcto, y lo es. (Todo el código que se utiliza es en la primera revisión de esta respuesta si alguien está interesado.)

Answer 2

Este es un tipo de cupón colector problema, con probabilidades desiguales. Se ha estudiado, pero la fórmula para el tiempo de espera estimado parece muy (¿demasiado?) complicado.

He aquí el papel principal (restringido puedes probar a descargarlo de aquí: ftp://210.112.137.112/pub/Papers/schelling.pdf )

Ver también aquí.