Demostrar que una función es integrable según la Definición 2 también es integrable según la Definición 1, dado $\epsilon\gt 0$ uno se siente tentado a tomar $\delta$$\Vert P_\epsilon\Vert$. El problema es que no se puede particiones $P$ $\Vert P\Vert \lt \delta$ pero $P\not\supseteq P_\epsilon$. Así que, ¿cómo vamos a utilizar la Definición 2, entonces? Vamos a ver.
Decimos que $f\in \mathscr R[a,b]$ al $f$ es integrable según la Definición 2. También escribiremos $\mathscr P[a,b]$ para el conjunto de particiones del intervalo de $[a,b]$. Como de costumbre,$\Vert f\Vert_\infty =\sup\{|f(x)| : x\in [a,b]\}$.
Lema Deje $f:[a,b]\to \Bbb R$ ser una limitada función, y $P\in \mathscr P[a,b]$.
-
Si $P_1$ es la partición obtenida a partir de a $P$ mediante la adición de un punto, a continuación,
\begin{gather*}
L(P_1,f)\leq L(P,f) + 2\Vert f\Vert_\infty \Vert P\Vert\\
U(P_1,f)\geq U(P,f) - 2\Vert f\Vert_\infty \Vert P\Vert
\end{reunir*}
-
Si $P_m$ es la partición obtenida a partir de a $P$ mediante la adición de $m$ puntos luego
\begin{gather*}
L(P_m,f)\leq L(P,f) + 2m\Vert f\Vert_\infty \Vert P\Vert\\
U(P_m,f)\geq U(P,f) - 2m\Vert f\Vert_\infty \Vert P\Vert
\end{reunir*}
Prueba.
Deje $z\in [a,b]$ ser el punto de ser añadido. Si $P = \{a=x_0,x_1\ldots,x_n=b\}$, hay algunos $k\in\{1,\ldots,n\}$, de modo que $z\in [x_{k-1},x_k]$. Por lo tanto, dejar que
\begin{gather*}
m^\prime = \inf f\left(\left[x_{k-1},z\right]\right)\\
m^{\prime\prime} = \inf f\left(\left[z,x_k\right]\right)
\end{reunir*}
tenemos
\begin{align*}
L(P,f) - L(P_1,f)
&= m_k(f)\left(x_k - x_{k-1}\right) - m^\prime\left(z - x_{k-1}\right) - m^{\prime\prime}\left(x_k - z\right)\\
&\leq \Vert f\Vert_\infty\left(x_k - x_{k-1}\right) + \Vert f\Vert_\infty\left(z - x_{k-1}\right) + \Vert f\Vert_\infty\left(x_k - z\right)\\
&= 2\Vert f\Vert_\infty\left( x_k - x_{k-1}\right)\\
&\leq 2\Vert f\Vert_\infty\Vert P\Vert.
\end{align*}
La otra desigualdad es similar.
De esta manera se sigue por la adición de un punto en el tiempo y recorrer las desigualdades en 1.
Ahora, supongamos $f\in \mathscr R[a,b]$. Deje $\epsilon\gt 0$. Entonces sabemos que
$$
\underline{\int_a^b} f(x)\mathrm d x = \int_a^b f(x)\mathrm d x =
\overline{\int_a^b} f(x)\mathrm d x,
$$
así que por las propiedades de sup (e inf), no existe $P_1,P_2\in\mathscr P[a,b]$ que si $P\in\mathscr P[a,b]$ con $P\supseteq P_1$ ($P\supseteq P_2$) entonces
\begin{gather*}
\int_a^b f(x)\mathrm d x - \frac\epsilon 2 \lt L\left(P_1,f\right)\\
\int_a^b f(x)\mathrm d x + \frac\epsilon 2 \gt U\left(P_2,f\right).
\end{reunir*}
Vamos
$$
P=P_1\copa P_2 = \{x_0,\ldots,x_n\}
$$
y $\delta = \frac\epsilon {4n\Vert f\Vert_\infty}$. Deje $Q$ ser una partición de $[a,b]$,$\Vert Q\Vert\lt \delta$. A continuación, $P\cup Q$ se obtiene a partir de a $Q$ añadiendo en la mayoría de las $n-1$ puntos. Recuerde que cuando usted añadir puntos a una partición, inferior sumas de dinero aumenta y superior sumas reduce, por tanto,
\begin{gather*}
\int_a^b f(x) \mathrm d x -\frac\epsilon 2 \lt L(P_1,f)\leq L(P\cup Q,f) \leq L(Q,f) + 2(n-1)\Vert f\Vert_\infty\Vert Q\Vert.\\
\int_a^b f(x) \mathrm d x -\frac\epsilon 2 \lt L(Q,f) + 2(n-1)\Vert f\Vert_\infty \frac\epsilon{4n\Vert f\Vert_\infty}\\
\int_a^b f(x) \mathrm d x -\frac\epsilon 2 \lt L(Q,f) + \frac\epsilon 2 \\
\int_a^b f(x) \mathrm d x -\frac\epsilon 2 \lt \sum (Q^\ast,f) + \frac\epsilon 2\\
\int_a^b f(x) \mathrm d x \lt \sum(Q^\ast,f) + \epsilon.
\end{reunir*}
Del mismo modo, usando la parte superior sumas tenemos
$$\int_a^b f(x) \mathrm d x \gt \sum(Q^\ast,f) - \epsilon.$$
Por lo tanto, $$\left| \int_a^b f(x) \mathrm d x - \sum(Q^\ast,f)\right|\lt \epsilon,$$
siempre que $\Vert Q\Vert\lt\delta$, $f$ es integrable según la Definición 1.
Notas Este enfoque se encontró como Ejercicio 19 en la Sección 7.1 de la traducción al español de la Introducción al Análisis Real de Robert Bartle y Donald Shertbert. Fue la segunda edición. Una vez que he buscado para que el ejercicio en la edición más reciente. No lo pude encontrar. Así que Aquí está.
