¿Cómo se calculan las funciones propias de la transformada de Fourier?

Question

En la respuesta de Andy a la pregunta " Qué son los puntos fijos de la transformada de Fourier " en Math Overflow, muestra que la Transformada de Fourier tiene valores propios $\{+1, +i, -1, -i \}$ y que las proyecciones de cualquier función sobre los correspondientes cuatro eigespacios pueden hallarse mediante algo de álgebra lineal sencilla.

Me gustaría conocer mejor estos cuatro eigenspaces de la transformada de Fourier.

1. ¿Cómo puedo encontrar algunos miembros interesantes de cada uno de estos eigenspaces?
2. ¿Cómo puedo demostrar que los Hermite-Gaussianos están en uno (¿o más?) de los eigenspaces?
3. ¿Cómo se pueden definir los operadores de proyección utilizables sobre estos espacios de eigenes?
4. La wikipedia artículo sobre la Transformada de Fourier menciona que Wiener definió la Transformada de Fourier a través de estas proyecciones. ¿Cuál fue exactamente el enfoque de Wiener?

Answer 1

Un método es aplicar el Transformación de Bargmann:

$$B_f(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \exp \left(2 \pi x z - \pi x^2 - \frac{\pi}{2}z^2 \right) dy$$

a la ecuación de valores propios:

$$f(x) = \lambda \int_{-\infty}^{\infty}f(y) \exp(-2 \pi ix y) dy$$

para obtener la siguiente relación para las funciones propias transformadas de Bargmann:

$$B_f(z) = \lambda B_f(-iz) $$

cuyas soluciones son los monomios:

$B_f(z) = z^n$ correspondiente a los valores propios $i^{n \bmod{4}}$ .

Ahora, la transformada inversa de Bargmann de los monomios son sólo las funciones de Hermite.

Observación: La aplicación de la transformada de Bargmann a la ecuación de valores propios implica un cambio de orden de integración que es posible porque las funciones de Hermite están acotadas.

Los operadores de proyección sobre el $n$ en el subespacio de Bargamann vienen dados por los núcleos

$$ P(v,\bar{z})=\frac{(v\bar{z})^n}{n!} ,$$

que actúan sobre las funciones transformadas de Bargmann según:

$$ Pf(v) = \int_{\mathbb{C}}P(v,\bar{z}) f(z) \exp(-z\bar{z})dzd\bar{z} .$$

En el dominio del tiempo, los núcleos de proyección son simplemente $P(t, \tau) = H_n(\tau) H_n(t)$ debido a la ortonormalidad de las funciones de Hermite.