Grupos de Galois de polinomios y ecuaciones explícitas para las raíces

Question

Digamos que he calculado el grupo de galois de algún polinomio y también tengo la estructura del subgrupo ¿Cuál es un procedimiento efectivo para convertir el grupo en ecuaciones para las raíces reales del polinomio en términos de sus coeficientes asumiendo que el grupo de galois del polinomio es resoluble?

Answer 1

Una de las técnicas fundamentales para hacerlo es calcular las resolventes (de Lagrange) asociadas a la ecuación. Suponiendo que el grupo es resoluble, los resolventes serán factorizables y susceptibles de ecuaciones auxiliares de grado inferior. Para tener una primera idea de todo esto, te aconsejo que mires el espléndido libro de Harold Edwards : "Galois Theory" (ISBN 038790980X) donde lo hace para los casos elementales y un ejemplo de la ecuación ciclotómica.

Con el moderno Sistema de Álgebra Computacional, se puede explorar más fácilmente la idea, pero se necesita mucho ingenio porque el grado de las ecuaciones auxiliares aumenta rápidamente. Algunos CAS (como GAP que es una herramienta de investigación académica gratuita y de código abierto) son capaces de darte los grupos de Galois de los polinomios de bajo grado, así como las propiedades de los campos de división y puedes mirar su tutorial para tener ejemplos de su uso.

La teoría de Galois efectiva e inversa sigue siendo un tema de investigación activo. Algunos de los trabajos de Annick Valibouze, N. Durov, Klueners, etc. podrían ayudarte a ir más allá.

Answer 2

Creo que el libro "Algebraic theories" de Dickson (ahora viene en la edición de Dover phoenix) tiene algunas cosas "reales" sobre la teoría de Galois en el sentido de que responde a su pregunta de los cálculos explícitos.

Answer 3

El libro Teoría clásica de Galois: con ejemplos de Gaal contiene cálculos explícitos, si no un algoritmo completo.