Demuestra que $f$ no puede tener infinitos ceros en $[0, 1]$ .

Question

Sea $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sea una función diferenciable tal que $f$ y su derivada no tienen ningún cero común en el intervalo cerrado $[0, 1]$ . Demuestre que f no puede tener infinitos ceros en $[0, 1]$ .

Answer 1

Desde $[0,1]$ es compacto, si $f$ tuvieran infinitos ceros allí, tendrían que estar de forma no discreta, es decir, los ceros de $f$ tienen un punto límite en $[0,1]$ . Porque $f$ es continua, ese punto límite sería un cero de $f$ también. Tomando la derivada de $f$ en ese punto límite eligiendo los ceros como secuencia de aproximación para los cocientes de diferencias, se ve que la derivada de $f$ en ese punto límite también sería cero. Esto es una contradicción. Por lo tanto, $f$ no puede tener infinitos ceros en $[0,1]$ .

Answer 2

Pistas:

Supongamos que $\,\{x_n\}_{n\in\Bbb N}\,$ es una secuencia infinita de ceros de $\,f\,$

1) Demuestre que existe una subsecuencia $\,\{x_{n_k}\}\subset\{x_n\}\,$ s.t. que

$$\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x_0\;,\;\;x_0\in [0,1]$$

2) Mostrar $\,f(x_0)=0\,$

3) Demuestre que entre dos ceros cualesquiera de $\,f\,$ existe un cero de $\,f'\,$ (M.V.T.)

Answer 3

Al principio supuse que la derivada es continua, lo cual es claramente erróneo, lo siento.

Tal vez te guste el ejemplo de que no basta con tener una función $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ continua en $[0,1]$ y continua diferenciable en $(0,1)$ (de hecho es $C^{\infty}$ en $(0,1)$

$$f(x)=\begin{cases} x\cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) & x \neq 0\\ 0& x=0 \end{cases}$$