¿Qué es un ejemplo de que una función es derivable pero derivado no es Riemann integrable

Question

Tengo dos preguntas que me interesa.

1. Si $f$ es diferenciable real de la función en su dominio, a continuación, $f'$ es Riemann integrable.

2. Si $g$ es una función real con valor intermedio de la propiedad, a continuación, $g$ es Riemann integrable.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencias:

1) La función de $f$ definido por $$f(x)=\cases{ x^2\sin(1/x^2),&$x\ne0$ \cr 0,&$x=0$}$$ is differentiable on $[-1,1]$; but its derivative is unbounded on $[-1,1]$.

2) los Derivados de disfrutar de el Intermedio Valor de la Propiedad (por el Teorema de Darboux).

Answer 2

1. Una de Riemann integrable función de $f$ en un intervalo de $[a,b]$ debe estar acotada en dicho intervalo. Así, si tomamos $f(x) = x^{\frac{3}{2}} \sin(\frac{1}{x})$$[0,1]$, se puede comprobar que esta es una función continua y diferenciable, pero con una desenfrenada de derivados y por lo que no es integrable. Usted puede incluso construir un ejemplo de una función derivable cuya derivada es limitada pero todavía no es Riemann integrable - ver Volterra de la función.
2. De nuevo, se toma una función como$f(x) = \frac{1}{x} \sin(\frac{1}{x})$$[0,1]$$f(0) = 0$. Este es un discontinuas, sin límites de la función que cumple el valor intermedio de la propiedad, pero no de Riemann integrable. Un almacén de ejemplo está dado por la derivada de Volterra de la función.