¿La multiplicación de números contablemente infinitos entre $0$ y $1$ igual $0$ ?

Question

Supongamos que cada término de una secuencia contablemente infinita $x_1,x_2,\dots$ está entre $0$ y $1$ es decir $0<x_i<1$ por cada $i$ . Hace $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{i = 1}^n {{x_i}} $ igual $0$ o existe el contraejemplo de que podría no serlo $0$ ? Gracias.

Answer 1

Dejemos que $(a_i)$ sea una sucesión estrictamente creciente de números positivos que está acotada por encima. Tal secuencia converge necesariamente, llamando al límite $a$ . Ahora, establece $x_i = \frac{a_i}{a_{i+1}}$ . Entonces $0 < x_i < 1$ y

$$\prod_{i=1}^nx_i = x_1\dots x_n = \frac{a_1}{a_2}\dots\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{a_1}{a_{n+1}}.$$

Por lo tanto,

$$\prod_{i = 1}^{\infty}x_i = \lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^n x_i = \lim_{n\to\infty}\frac{a_1}{a_{n+1}} = \frac{a_1}{a}$$

que es distinto de cero ya que $a_1 \neq 0$ . De esta construcción se deduce que cualquier $p \in (0, 1)$ surge como tal un producto infinito.

Answer 2

$$\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{1/2}}\cdot \frac{1}{2^{1/4}}\cdot \frac{1}{2^{1/8}}\cdot \frac{1}{2^{1/16}}\cdot \frac{1}{2^{1/32}}\cdot \frac{1}{2^{1/64}} \cdots$$

Answer 3

Comienza con la secuencia decreciente $$p_1 = 1 - \frac{1}{4}, \quad p_2 = 1 - \frac{3}{8}, \quad p_3 = 1 - \frac{7}{16}\quad, \quad ...\quad , \quad p_n = 1 - \frac{2^n-1}{2^{n+1}} $$ cuyo límite es igual a $\frac{1}{2}$ . A continuación, establezca $$x_1 = p_1, \quad x_2 = p_2/p_1, \quad x_3 = p_3/p_2,\quad \ldots $$ El producto parcial $\prod_{i=1}^n x_i$ es igual a $p_n$ por lo que el límite es $\frac{1}{2}$ .

Answer 4

Toma $x_i = 1-\frac{1}{(i+1)^2}$ . Entonces, tenemos $$ \ln \prod_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n \ln\left(1-\frac{1}{(i+1)^2}\right) $$ y como $\ln\left(1-\frac{1}{(i+1)^2}\right) \sim_{i\to\infty} -\frac{1}{i^2}$ la serie $\sum_{i=1}^n \ln\left(1-\frac{1}{(i+1)^2}\right)$ converge (por comparación) a algún número real $\ell < 0$ . Pero esto significa que $$ \prod_{i=1}^n x_i\xrightarrow[n\to\infty]{} e^\ell > 0. $$

Answer 5

Es bueno saber el resultado: Supongamos que $a_n\in (0,1)$ para todos $n.$ Entonces $\prod_{n=1}^\infty (1-a_n) > 0$ si $\sum a_n < \infty.$ La prueba es un bonito ejercicio de tomar registros y utilizar $\log (1+u) = u + o(u).$