Groupification y la perfección de un conmutativa monoid

Question

Las siguientes definiciones y proposición se toman desde el papel de La geometría de Frobenioids yo por S. Mochizuki.

Deje $\mathbb{N}_{\ge 1}$ el conjunto de los enteros positivos. $\mathbb{N}_{\ge 1}$ es un conjunto dirigido por el orden de la relación de $a|b$. Vamos $M$, $N$ ser conmutativa monoids(las operaciones binarias se escriben de forma aditiva). Un mapa de $f\colon M \rightarrow N$ se llama morfismos si $f(x + y) = f(x) + f(y)$ cualquier $x, y$$f(0) = 0$.

Para cada $n \in \mathbb{N}_{\ge 1}$, la multiplicación de mapa de $x \rightarrow nx$ $M$ es una de morfismos.

$M$ dijo estar de torsión libre si $nx = 0$ implica $x = 0$ por cada $n \in \mathbb{N}_{\ge 1}$.

Deje $M^{gp}$ ser el groupification de $M$, es decir, el grupo de grothendieck de $M$. Deje $\psi\colon M \rightarrow M^{gp}$ ser la canónica mapa. Si $\psi$ es inyectiva, $M$ se dice que ser integral.

$M$ dijo estar saturado si $na \in \psi(M)$ algunos $n \in \mathbb{N}_{\ge 1}$$a \in M^{gp}$,$a \in \psi(M)$.

$M$ se dice perfecto si la multiplicación de mapa de $x \rightarrow nx$ es bijective para cada $n \in \mathbb{N}_{\ge 1}$.

La perfección $M^{pf}$ $M$ se define como sigue. Deje $M_a = M$ por cada $a \in \mathbb{N}_{\ge 1}$. si $a|b$, podemos definir un morfismos $f_{ba}\colon M_a \rightarrow M_b$$f_{ba}(x) = (b/a)x$. A continuación, $(M_a)_{a\in \mathbb{N}_{\ge 1}}$ $(f_{ba})$ constituye una directa(o inductivo) del sistema. Definimos $M^{pf} = colim_{a\in \mathbb{N}_{\ge 1}} M_a$. Existe la canónica de morfismos $\phi\colon M = M_1 \rightarrow M^{pf}$.

Mi pregunta: ¿Cómo podemos demostrar la siguiente proposición?

La proposición

(1) $\phi\colon M \rightarrow M^{pf}$ es inyectiva si $M$ es de torsión libre, integral y saturados.

(2) $M$ es perfecto si y sólo si $\phi$ es un isomorhism.

La motivación Recientemente(agosto, 2012), S. Mochizuki presentado una serie de documentos(Inter-universal Teichmuller Teoría I,II,III,IV) que se desarrolla su nueva teoría. Como una aplicación de su teoría, él escribió una prueba de la conjetura ABC. Creo que la validez de la prueba aún no ha sido confirmado por otros matemáticos. Sin embargo, teniendo en cuenta su trayectoria, creo que vale la pena leer los papeles. Él se refiere a La geometría de Frobenioids me la notación y terminolgy sobre monoids y categorías.

Answer 1

(1) Si $M \to M^{pf}$ no es inyectiva, no existe $x \neq y$ $n\in \mathbb{N}_{\geq 1}$ tal que $f_{n1}(x) = f_{n1}(y)$. (El hecho de que los elementos son iguales en el colimit iff son iguales en algunas plazo requiere un poco de pensamiento. No es una propiedad general; de ello se deriva aquí de la estructura del diagrama de definición de la colimit.) Así que vamos a suponer que $x,y\in M$ satisfacer $nx = ny$.

Deje $Z = [x] - [y]$$M^{gp}$. Tenemos $nZ = [nx] - [ny] = 0$, que se encuentra en la imagen de $\psi(M)$, por lo que la saturación implica que $Z \in \psi(M)$. Decir $Z=\psi(z)$$z\in M$. Desde $Z$ satisface $Z + [y] = [x]$, integralidad implica que $z + y = x$. El elemento $z$ satisface $\psi(nz)=nZ=0\in M^{gp}$, por lo integralidad implica $nz = 0\in M$. Desde $M$ es de torsiones esto implica $z = 0$, lo $z+y=x$ hace $y = x$. Esto demuestra que $M\to M^{pf}$ es inyectiva.

(2) Desde $M^{pf}$ es perfecta (una inversa de a $x\mapsto nx$ es el mapa inducida por el envío de $x\in M_a$$x\in M_{na}$), un isomorfismo $M\to M^{pf}$ implica que el $M$ es perfecto. Por el contrario, si $M$ es perfecto, podemos cambiar las coordenadas en la $M_a$ $x \mapsto \frac{1}{n}x$ (la inversa de a $x\mapsto nx$, el cual es automáticamente un morfismos). Ahora el sistema directo es constante y por lo $M\to M_1\to M^{pf}$ es un isomorfismo.

Answer 2

La Aha. Lo que hace este '$\mathrm{colim}$' significa? $M^{pf} = \displaystyle(\coprod_{a\in\mathbb N} M_a)/\sim$ donde $m_a$ $m_b$ son identificados ($m_a\sim m_b$), si $a|b$$m_b = (b/a)\cdot m_a$.

De alguna manera, $M_a$ quiere representar la 'formal' $a$-fracciones de $M$, respecto a que cualquier $m$ $M_1$ es representado como $a\cdot m$$M_a$, lo $m$ $M_a$ quiere representar a $\frac 1a\cdot m$.

Ahora coger $m,u$ tal que $\phi(m)=\phi(u)$, denotan $m_1$ $u_1$ el (copia de) $m$$u$$M_1$, lo que significa $m_1=u_1$. Identidad en $M^{pf}$ significa que $$\exists m_1\sim w_{a_1} \sim w_{a_2} \sim \dots \sim w_{a_k} \sim u_1 $$ es decir, $w_{a_1}=a_1\cdot m_1$, la siguiente es $w_{a_2}=(a_2/a_1)\cdot w_{a_1} = a_2\cdot m_1$ o $w_{a_1} = (a_1/a_2)w_{a_2}$ ...