¿La motivación detrás de la introducción de la teoría de la medida es la integral de Lebesgue? Para evaluar dicha integral necesitamos la longitud de cada una de las franjas horizontales de ancho $h$ . Tengo una pregunta. ¿Por qué necesitamos un concepto tan general de medida? La longitud es una especie de medida, pero ¿por qué Lebesgue pensó en un concepto tan general de "medida" cuando sólo necesitaba la longitud para evaluar sus integrales? ¿Hay alguna otra motivación detrás de esto?
Respuesta
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grantfgates
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No estoy seguro de que pueda decir que hay una sola motivación detrás de la introducción de un concepto, pero encontré múltiples motivaciones detrás de la introducción de la teoría de la medida que vi.
Primero, el set de Cantor. Es difícil hablar de la longitud del conjunto de Cantor con rigor, ya que no es un único intervalo, sino el resultado de una intersección contable de uniones de intervalos. La medida de Lebesgue hace más fácil ver que la "longitud" del conjunto de Cantor es cero, y luego ver que la longitud y la cardinalidad no están muy bien correlacionadas.
En segundo lugar, una vez que la medida de Lebesgue se define para $ \mathbb {R}^d$ la integración en múltiples dimensiones es esencialmente tan fácil de definir como la integración en una sola dimensión (ver el libro de Stein y Shakarchi Análisis real donde la integral de Lebesgue se define inmediatamente para una dimensión entera positiva arbitraria). Otra cuestión que se plantea en ese libro es que no todas las posibles series de Fourier, en el sentido de secuencias $\{ a_n \} \in \ell ^2( \mathbb {Z})$ tienen las correspondientes funciones integrables de Riemann. Sin embargo, tienen las correspondientes funciones integrables de Lebesgue, y esta integral requiere la medida de Lebesgue.
Pero para medidas más complicadas, creo que las principales motivaciones que vi en mi caso fueron los espacios de probabilidad (lo que lleva a aplicaciones geniales en la probabilidad), y la medida de conteo. Una de las cosas realmente agradables de la medida de conteo es que muestra claramente que las sumas y las integrales son "lo mismo", de modo que puedes probar teoremas sobre objetos discretos y continuos al mismo tiempo (por ejemplo, las desigualdades de Hölder, Minkowski y Hilbert).
