Si $B\not\prec A$, no $A\preceq {\cal P}(B)$ o $A\preceq {\cal P}{\cal P}(B)$, etc en ${\sf ZF}$?

Question

He oído decir que los teoremas basa en la elección también están disponibles en ZF "un par de powersets de distancia", y creo que este es uno de ellos, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo. (También estoy interesada en saber de otras fórmulas de este tipo. Un caso especial: Si $A\not\prec\omega$,$\omega\preceq{\cal PP}(A)$, es decir, el doble powerset de un Dedekind-conjunto finito es infinito. Este proceso, puedo demostrar).

Edit: para que quede claro, nos dice $A\preceq B$ si existe una inyección de $f:A\to B$, e $A\prec B$ si $A\preceq B$$B \mathrel{\diagup\hskip{-1em}\preceq} A$.

Para hacer la declaración precisa, lo que estoy preguntando es si existe un $n\in\omega$ tal que

$${\sf ZF}\vdash \forall A,B[A\prec B\vee B\prec{\cal P}^n(A)],$$

y si es así, ¿cuál es el más pequeño de tales $n$. Andrés comentario a continuación sugiere otra, mucho más débil generalización: es la declaración de $\exists\alpha\in{\sf On}\,\forall A,B\,(A\prec B\vee B\prec{\cal P}^\alpha(A))$ comprobable? Aquí ${\cal P}^\alpha(A)$ está definido por la recursión transfinita: ${\cal P}^0(A)=A$, ${\cal P}^{\alpha+1}(A)={\cal P(P}^\alpha(A))$, y ${\cal P}^\alpha(A)=\bigcup_{\beta<\alpha}{\cal P}^\beta(A)$ para el límite de los números ordinales $\alpha$.

Answer 1

La respuesta es negativa en $\sf ZF+\lnot AC$.

Deje $A$ ser un conjunto que no puede ser bien ordenado, pick $\alpha\in\sf Ord$, y deje $B=\aleph(\mathcal P^\alpha(A))$, entonces tenemos que $A$ $B$ son incomparables, pero también se $\mathcal P^\alpha(A)$ $B$ son incomparables.