Hay alguna forma de guardar esta "prueba" de que el $\aleph_0=\aleph$?

Question

Se me ocurrió esta idea de la prueba de la $\aleph_0=\aleph$. Sé que esto no es cierto en absoluto, pero tal vez haya algo más de lo que puedo ver.

empezamos con la desigualdad de $\aleph_0 \leq 2^{\aleph_0}=\aleph$. Nos debe tener $2^{\aleph_0} \leq e^{\aleph_0}$ donde $e^{\aleph_0}$ está definido por la siguiente potencia de la serie:

$$1+\frac{\aleph_0}{1}+\frac{\aleph_0}{2}+\frac{\aleph_0}{6}+\dots $$ La secuencia de sumas parciales de esta serie es $1,\aleph_0,\aleph_0,\aleph_0,\dots$, por lo que su límite debe ser $\aleph_0$ así, ¿no?

Y si $e^{\aleph_0}$ es realmente $\aleph_0$, nos han "probado" que sólo un infinito existe.

Es este completo BS, o tal vez algo de esperanza existe para esta idea?

NB otra posible definición de $e^{\aleph_0}$ $\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{\aleph_0}{n} \right)^n$ da el mismo resultado.

Answer 1

Última vez que lo comprobé, $\aleph_0$ no era un número real. No fue sometido a la convergencia de la legislación aplicada a funciones reales.

Es muy importante recordar que $\infty$ en el cálculo es una noción que representan un punto "más grande que cualquier número real", pero es totalmente distinta a la de cualquier infinito que se encuentra en la teoría de conjuntos. En particular, no puede sustituir a $\aleph_0$ $\infty$ y el uso de todos estos maquinaria de cálculo para manipular infinito cardenales.

Por otra parte, la continuidad de la función no es continua. Que es $$\lim_n 2^n\neq2^{\lim_n n},$$ at least for cardinal numbers. It is true for real numbers (both are $\infty$) and it is true for ordinal numbers (both equal $\omega$, pero ordinal exponenciación es diferente que el cardenal exponenciación).

Answer 2

$e^1$ no es un número natural. Tampoco es $e^2$. Ni $e^3$. Estos números, siendo reales, no son los números cardinales - no se puede contar el número de elementos de un conjunto.

Así que incluso si usted podría definir $e^{\aleph_0}$, en cierto modo, ¿por qué piensas que iba a contar nada, dado que el $e^1,e^2,\dots,e^n,\dots$ no cuenta para nada?

También, ¿por qué cree que $e^{\aleph_0}>2^{\aleph_0}$? Wedefine $2^{\aleph_0}$ de una manera, y $e^{\aleph_0}$ se define de otra manera. Se utiliza la misma notación para $e^x$ $2^x$ al $x$ es real debido a que tienen una similitud. Pero la prueba de que la similitud no se extiende arbitraria de las cardinalidades.

No hay manera de salvar esta prueba. La naturaleza misma de la definición de $e^x$ no admitir a un útil infinita cardenal extensión.

Answer 3

Aquí otro reto para usted para tratar de conciliar, uno con un "sentido" a su pregunta original, pero con todas las cantidades bien definidas: de hecho, es el caso (para el adecuado definiciones de todo aquí) que $|\omega|=|\omega^\omega|$. El "truco" es que el último es el uso de los ordinales definición de $\omega^\omega$ donde $\omega^\omega$ es la unión de los conjuntos de $\{\omega, \omega^2, \omega^3, \ldots\}$ y, por ejemplo, $\omega^2$ se define como $\{0, 1, 2, \ldots, \omega, \omega+1, \ldots, \omega\cdot2, \ldots, \omega\cdot3, \ldots\}$; es decir, $\omega^\omega$ es esencialmente el límite de las cantidades $\omega^n$$n\to\infty$. Pero 'obviamente' debe ser el caso que $\omega^\omega\leq 2^\omega$, y lo "saben" que el $2^\omega=\mathfrak{c}\gt\omega$, entonces, ¿qué está pasando aquí?

La parte importante del rompecabezas aquí, como Asaf sugerencias, es que el ordinal de la exponenciación es distinta de la del cardenal exponenciación; cuando hablamos de exponenciación cardinal $2^{\aleph_0}$, nos estamos refiriendo a la cardinalidad del conjunto de todas las funciones de $\omega$ 2 $|{}^\omega2|$. Esto es muy diferente de la bestia de $\omega^\omega$, el cual se refiere a un ordinal cantidad que es el límite de una secuencia de otros ordinal cantidades.

En esencia, $\omega^\omega$ representa una secuencia, mientras que $2^{\aleph_0}$ sólo representa (la cardinalidad de un conjunto — y la clave de la distinción entre los dos es la estructura adicional que la secuencia (el ordinality) ofrece. Por ejemplo, debe ser obvio que la forma de " bien de orden de todos los elementos de a $\omega^\omega$, casi por definición; cada elemento $\alpha$ tiene un claro sucesor $\alpha+1$, hay al menos un elemento de a $0=\{\}$, y con un poco de pensamiento puede ser capaz de convencer a ti mismo que no hay infinito descendente cadenas.

Por el contrario, no es inmediatamente obvio cómo poner cualquier tipo de estructura de orden en el conjunto de ${}^\omega2$ de las funciones de $\omega\to2$ (o, equivalentemente, los conjuntos de números enteros), y de hecho es coherente que no hay ninguna forma de poner cualquier estructura de orden en el conjunto.