Cuando es el automorphism grupo del grafo de Cayley de a$G$$G$?

Question

Deje $G$ ser un grupo finito y $S$ un generador de $G$. Se puede dibujar el grafo de Cayley $C(G,S)$ poniendo cada elemento de a $G$ como un vértice, y el dibujo de una arista entre dos elementos $g$, $h\in G$ iff $g^{-1} h \in S$.

Elija $x\in G$. Tenga en cuenta que el mapa de $g \mapsto xg$ es un gráfico automorphism de $C(G,S)$. Esto nos permite incrustar $G \le \text{Aut}(C(G,S))$.

Mi pregunta es: cuando es, de hecho, en el caso de que $G = \text{Aut}(C(G,S))$? Hay un buen criterio para determinar esto?

Answer 1

En general, no es agradable caracterización de los conjuntos de conexión $C$ de manera tal que el grafo de Cayley $\mathrm{Aut}(X(G,C)) \cong G$. (Esta gráfica se llama gráfica de regular la representación de $G$, abreviadas (afortunadamente) a GRR.)

Claramente, es necesario que el conjunto de conexiones que genera el grupo.

Si $G$ admite un no-identidad automorphism que, para cada elemento de la $G$, lo corrige o mapas a su inversa, a continuación, el estabilizador de un vértice para cualquier grafo de Cayley contiene un elemento de orden dos. Esto descarta la GRRs para abelian grupos con exponente mayor que dos, y grupos como el grupo de cuaterniones (los llamados generalizada dicyclic grupos).

Si un grupo no está abelian con exponente mayor que tres, no generalizada dicyclic, y ha pedido en menos de 32 a continuación, tiene una GRR. (Esto no es trivial, y se basa en el trabajo de una larga lista de gente).

Si $G$ es nilpotent y no abelian, entonces casi todos los grafos de Cayley de a $G$ son GGRs (Babai y a mí). He demostrado (usando algunos no trivial teoría del grupo) que si $G$ $p$- grupo sin homomorphism en la corona de producto de $\mathbb{Z}_p$$\mathbb{Z}$, e $C$ es un conjunto de conexiones que no se fija por un no-identidad automorphism de $G$, $X(G,C)$ es una GRR. Así que, en este caso tenemos una caracterización de los conjuntos de conexión que se traducen en GRRs.

Answer 2

Primero: no sé de qué estoy hablando. Pre-multiplicando por un elemento de a $G$ es un gráfico automorphism, de ahí el automorphism grupo de Cayley gráfico contiene una copia de $G$ como un subgrupo. Aparentemente dando un generador de $S$ de manera tal que el automorphism grupo es isomorfo a $G$ se llama dar una Gráfica de Regular la Representación, mira este artículo. Al parecer, encontrar un GRR de un grupo que se llama el GRR problema y es posible que todos los no-abelian subgrupos de orden coprime a $6$. De todos modos, que el artículo parece tener muchas otras fuentes.