¿Es posible que una función lisa por todas partes, analítica en ninguna parte, sin embargo, converge la serie de Taylor en cualquier punto en un radio distinto de cero?

Question

Es bien sabido que la función

$$f(x) = \begin{casos} e^{-1/x^2}, \mbox{si } x \ne 0 \\ 0, \mbox{si } x = 0\end{casos}$$

es suave todo el mundo, sin embargo, no analítica en $x = 0$. En particular, su desarrollo en serie de Taylor existe, pero es igual a $0 + 0x + 0x^2 + 0x^3 + ... = 0$, así que, aunque tiene radio de convergencia $\infty$, no es igual a $f$, incluso en un pequeño barrio de de $0$.

También hay una función

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\sqrt{2^n}} \cos(2^n x)$$

que es suave todo el mundo (es decir, $C^{\infty}$) sin embargo, la analítica de la nada. En particular, la serie de Taylor en cada punto tiene radio de convergencia $0$. De hecho, "la mayoría" de las funciones lisas no son analíticos.

Pero esto hace que me pregunte. Podría existir alguna función que es suave todo el mundo, la analítica de la nada, sin embargo, su desarrollo en serie de Taylor en cualquier punto distinto de cero radio de convergencia, y por lo converge a algo, pero ese algo no es la función, ni siquiera en un pequeño vecindario sobre el punto de la expansión? Si sí, ¿cuál es un ejemplo de una función? Si no, ¿cuál es la prueba de que tal cosa es imposible? Y también, si no, qué tipo de restricciones existen en la convergencia de la T. s.? A cuántos/lo que la distribución de puntos que convergen a algo que no es la función? Tomo nota de que si multiplicamos juntos las dos funciones anteriores, tenemos otro suave en todas partes, analítica-en ninguna parte de la función, pero esta vez en $0$ tenemos una convergente serie de Taylor (el mismo de cero de la serie como antes, sólo el uso de la generalización de la regla de Leibniz) que no concurre la función, incluso en un pequeño barrio de de $0$.

EDICIÓN (31 de Dic de 2013): Con buscar un poco en Google me encontré con un post para mathoverflow:

http://mathoverflow.net/a/81465

La serie de Taylor de la Fabius función en cualquier diádica racional de la realidad infinita radio de convergencia (sólo un número finito de términos son cero), pero no representa la función en el intervalo.

Así que parece ser que es posible tener una función cuya serie de Taylor converge a "lo malo" en un denso conjunto de expansión de puntos. Pero todavía no responde a la pregunta de si es posible para todos los de expansión de puntos en toda la recta real.

Answer 1

No, esto no es posible. Dave L. Renfro escribió un excelente histórico Ensayo en ningún lugar de la analítica de $C^\infty$ funciones en dos partes (con numerosas referencias). Ver aquí: 1 (de fecha 9 de Mayo de 2002 6:18 PM), y 2 (de fecha 19 de Mayo de 2002 8:29 PM).

Como se indica en la parte 1, en

Zygmunt Zahorski. Sur l'ensemble des puntos singuliers d'une función d'une variable réelle admettant les dérivées de tous les ordres, Fondo. Math., 34, (1947), 183-245. MR0025545 (10,23 c); y Supplément au mémoire Sur l'ensemble des puntos singuliers d'une función d'une variable réelle admettant les dérivées de tous les pedidos", Fund. Math., 36, (1949), 319-320. MR0035329 (11,718 a),

Zahorski propuso en 1947 la siguiente clasificación de los puntos donde una función $f$ es $C^\infty$, pero no analítica:

1. Un punto de $a$ es un C-punto (de Cauchy) iff formal de la serie de Taylor alrededor de $un$ asociados a $f$ converge en un barrio de $a$, pero el resultado de la analítica de la función no coincide con el de $f$ en cualquier barrio de $a$.
2. El punto de $a$ es un P-punto (para Pringsheim) iff formal de la serie de Taylor de $f$ acerca $a$ tiene radio de convergencia $0$.

Teorema (Zahorski). Deje que $C,P$ ser conjuntos de números reales. Los siguientes son equivalentes:

1. $C$ y $P$ son los conjuntos de Cy P-puntos, respectivamente, de unos $C^\infty$ la función $f:\mathbb R\to\mathbb R$.
2. Los siguientes 4 condiciones:
   • $C$ es de primera categoría $F_\sigma$ set.
   • $P$ es un $G_\delta$ set.
   • $C\cap P=\emptyset$.
   • $C\taza de P$ es cerrado en $\mathbb R$.

Como corolario, tenga en cuenta que si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ es suave, y su conjunto de P-puntos está vacía, entonces, ya no hay intervalo es de primera categoría (por la Baire categoría teorema), en cada intervalo debe haber puntos donde $f$ es analítica.

Otras dos referencias clave es posible que desee consultar (también mencionado en Renfro ensayo)

Gerald Gustave Bilodeau. El origen y desarrollo inicial de nonanalytic infinitamente funciones diferenciables, Arq. Hist. Exacto De La Lesión., 27 (2), (1982), 115-135. MR0677684 (84g:26017),

y

Helmut R. Salzmann, y Karl Longin Zeller. Singularitäten unendlich oft differenzierbarer Funktionen, Matemáticas. Z., 62 (1), (1955), 354-367. MR0071479 (17,134 b).

(El último, contiene una versión simplificada de la prueba de Zahorski del resultado).

(Casualmente, en último término, tuve la oportunidad de cubrir algunos de los resultados en esta área en mi clase de análisis. Véase también MathOverflow, para una versión de esta pregunta, y las relacionadas con la cuestión de si el conjunto de P-puntos pueden ser de $\mathbb R$.)