Lorentz-Transformación en un bucle cerrado (Sagnac)

Question

Tengo un problema de la transformación de un sistema a otro cuando la dirección del movimiento cambia. Para demostrar el problema voy a crear un ejemplo fácil e intuitiva con los números:

ampliar ↵ izquierda: observador externo (correcto), derecho: observador en movimiento (obviamente mal); v=c/2

Tengo un cuadrado con lado de longitud $S = 1 \text{ Ls}$ (lightsecond), y, por tanto, la circunferencia $U = 4 \text{ Ls}$. En la parte superior derecha en lugar de un corredor, que corre alrededor de la plaza en sentido antihorario con la velocidad de la $v=\frac{c}{2}$. Él emite un fotón rojo al frente, y una azul en la dirección de las agujas.

Si me preguntan por el tiempo y el lugar en donde el primer fotón supera el corredor, esta es fácil desde el punto de vista de un observador externo que está en reposo con respecto a la ruta: El azul fotón pasa el corredor en $t = \frac{U}{c+v} = \frac{8}{3} \text{ sec}$.

El lugar donde el primer impacto que pasa es $t\cdot v = \frac{4}{3} \text{ Ls}$, el tercio superior en el lado izquierdo de la plaza.

Tomamos nota de que el azul de fotones cumple con el fotón rojo en la esquina inferior derecha; después de $2 \text{ sec}$ ambos han viajado $2 \text{ Ls}$ y, por tanto, exactamente 2 longitudes de los lados.

Hasta ahora tan bueno. Pero ahora estoy empezando a luchar:

Si trato de transformar la escena en la que el sistema del corredor con $v=\frac{c}{2}$, la primera vez que transformar la $\{1\}\times \{1\}$ cuadrado en un rectángulo con las longitudes de los lados $\{1\} \times \left\{ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \right\}$ = $\{1\}\times\{0.866\}$ - debido a la transformación de Lorentz de la leghts en la dirección de movimiento del contrato.

El fotón rojo ha $c$ en relación al corredor, mientras que la ruta está moviendo hacia él con $v$. Por lo que desde el punto de vista de que el corredor el fotón se mueve con $c+v = 1.5 c$ en relación a la ruta.

Después de que el punto donde el fotón está girando a su izquierda y por lo tanto los cambios de dirección de horizontal a vertical, su velocidad vertical debe ser $\sqrt{c^2-v^2}$, por lo que el total de la velocidad relativa a la que el corredor puede ser $c$ (Pitágoras).

Ahora tengo que calcular:

La Lorentz-contratado lado de longitud $S' = \frac{S}{\gamma} = \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.866 \text{ Ls}$. Divido a aquellas a través de las $c+v$ para obtener el tiempo hasta que el fotón rojo hace su primera vuelta:

$$\tau_1 = \frac{S/ \gamma}{c+v} = \frac{1\cdot \sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}}{1+\frac{1}{2}}$$

$$\tau_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ sec}$$

Porque en este momento en que el corredor esté en movimiento horizontal, pero el fotón vertical, la longitud del lado vertical es sin relación al corredor, lo $S = 1 \text{ Ls}$. El tiempo hasta que el fotón rojo llega a la esquina inferior izquierda es, por tanto,$S/(c^2-v^2)$:

$$\tau_2=\frac{S}{\sqrt{c^2-v^2}} = \frac{1}{\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}}$$

$$\tau_2= \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ sec}$$

El tiempo total hasta el fotón rojo llega a la esquina inferior izquierda es entonces

$$\tau_1+\tau_2 = \sqrt{3} \text{ sec}$$

Este es también exactamente el momento en que el corredor necesita para viajar a su superior contratado lado:

$$\frac{S}{\gamma \cdot v} = \sqrt{3} \text{ sec}$$

Aquí el problema se hace evidente:

Desde el punto de vista del observador externo (imagen de la izquierda), se sabe que el fotón rojo cumple con el azul de fotones en la esquina inferior izquierda.

Corredor y fotones de comenzar a moverse el uno hacia el otro mientras ambos comienzan desde direcciones opuestas en el mismo camino; el corredor se mueve hacia abajo, y el fotón hacia arriba. Porque el corredor de la velocidad relativa a la ruta de $v=\frac{c}{2}$, el azul de los fotones de la velocidad relativa a la ruta de la es $c-v$ que también es $\frac{c}{2}$. Corredor y fotones tienen la misma velocidad en direcciones opuestas (por lo que el fotón ha $c$ en relación al corredor).

A causa de esto que ahora debe cumplir en la mitad del camino; pero desde la perspectiva del observador externo, nosotros sabemos que ellos no cumplen la mitad del camino, pero en el tercio superior.

¿Qué hice mal? Puede alguien encontrar mi error?

Ni idea,

Yukterez

Post Script:

La única explicación que yo podría pensar es que los fotones hacer un salto cuando el corredor cambia de dirección (o al menos lo que parece un salto por el corredor cuando su desaceleración y aceleración de los tiempos son infinitesimaly corto). No estoy seguro de si esto es físicamente correcto, ni tengo idea de cómo calcular el saltó distancias correctamente sin engañar a su alrededor... Lo que hice aquí fue una especie de trampa; he resuelto por la distancia a la cual los fotones tendría que empezar de manera que pueda satisfacer la corredora en el lugar correcto (pero he calculado el lugar correcto en el exterior de los observadores del sistema, ver imagen de la izquierda).

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Answer 1

Esta es una paradoja de los gemelos en el disfraz. Aquí el observador externo es la inercia, y el desplazamiento de uno (punto negro) es un viaje. Tenías razón cuando en postscript se supone que los fotones "saltar" a otro lugar. Esto es porque, cuando el viajero se acelera, se "escanea" el observador externo del tiempo en un aumento de la velocidad, y en el límite es sólo salta a otro punto del observador externo. Esto es mejor ilustrado con wikipedia imagen:

Ver cómo la simultaneidad de planos " intersecciones con $ct$ eje de forma discontinua a cambio de conjunto azul a juego rojo.

Ahora vamos a calcular las coordenadas donde el rojo y el azul fotones aparecerá después de la aceleración.

En primer lugar, cambiar a la inicial de marco adecuado de punto negro moviéndose a lo largo de $x$ y expresar el mundo de la línea del punto después de la aceleración, como se ve en este marco, en términos de observador externo. A partir de ahora, voy a denotar el mundo de la línea de las coordenadas a través de $\{\tau,x,y\}$, teniendo en $c=1$. Para que el mundo de la línea después de la aceleración, como se ve en la primera trama, es

$$W_0=\left\{\frac{2t-1}{\sqrt3},\frac{t-2}{\sqrt3},1-\frac t2\right\}.$$

Ahora mueva el tiempo de aceleración del origen, de modo que el momento adecuado $\tau=0$ en el momento de la aceleración. Esto se logra a través de restar $W_0(t=2)=\{\sqrt3,0,0\}$ desde el mundo de la línea de coordenadas de arriba, y obtener

$$W_1=\left\{\frac{2t-4}{\sqrt3},\frac{t-2}{\sqrt3},1-\frac t2\right\}.$$

Ahora nos transformación para el nuevo marco de la aplicación de dos transformaciones de Lorentz: en primer lugar el que nos aparte de hacia la izquierda mover el marco, y luego el que la aceleración de nosotros hacia abajo:

$$W_2=L_y(v)\cdot L_x(-v)\cdot W_1,$$

y esto da

$$W_2=\left\{\frac{\sqrt3}2(t-2),0,0\right\},$$

lo cual, por supuesto, es de esperar - el corredor descansa en la posición de origen en este marco.

Ahora podemos transformar nuestra azul y rojo partículas mundo de líneas a este marco. Su mundo líneas en el original hacia la izquierda del bastidor móvil son:

$$W_{b0}=\left\{\frac{2t-1}{\sqrt3},\frac{t-2}{\sqrt3},t-3\right\},$$ $$W_{r0}=\left\{\sqrt3(t-1),\sqrt3(t-2),-1\right\}.$$

Después de la transformación que va a ser:

$$W_{b2}=\left\{\frac{3t-7}{\sqrt3},0,\frac{3t-8}{\sqrt3}\right\},$$ $$W_{r2}=\left\{\frac{2t-5}{\sqrt3},t-2,\frac{t-4}{\sqrt3}\right\}.$$

La solución de las ecuaciones $\tau=0$ $t$ para ambas partículas nos da

$$t_b=\frac73,$$ $$t_r=\frac52.$$

Sustituyendo en $W_{?2}$ nos da finalmente los puntos donde estas partículas de inicio de movimiento después de la aceleración, como se ve en el nuevo marco:

$$W_{b2}=\left\{0,0,-\frac1{\sqrt3}\right\},$$ $$W_{r2}=\left\{0,\frac12,-\frac{\sqrt3}2\right\},$$

que es lo que queríamos encontrar.

Answer 2

Cada vez que el corredor golpea a una esquina, los fotones de repente debe mover a una parte diferente de la pista. Debido relatividad de la simultaneidad, "ahora" los cambios siempre el punto de referencia del corredor de cambios. Esta es la base de la Rietdijk–Putnam argumento. También, si la segunda imagen se supone que desde el punto de referencia del corredor, el corredor debe permanecer inmóvil y la pista debe estar en movimiento.

Tendría más sentido que el fotón frente a ser de color azul debido al efecto doppler. Aunque si llevas esa lógica demasiado, se consigue inútilmente complicado. Nosotros sólo nos preocupamos de que el fotón es que, no la cantidad de energía que tienen.

Editar:

Ahora, usted tiene el fotón teleport con la pista. Usted está utilizando una transformación de Lorentz para encontrar la nueva posición de los fotones. El problema es que usted todavía está utilizando el viejo. Usted necesita encontrar el tiempo desde el nuevo punto de referencia así y, a continuación, traza la trayectoria de los fotones con el fin de averiguar donde se encuentra ahora.