0 a la potencia de 0, lo que hace esencial la discontinuidad en realidad?

Question

Así que, habiendo ver este clip de Numberphile que explica por qué la $0^0$ es indefinido https://www.youtube.com/watch?v=BRRolKTlF6Q

Y también este

http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.to.0.power.html

Y también este

Cero a la cero potencia - Es $0^0=1$?

Entiendo cómo cuando se le da una función de la forma $x^y$ a continuación, se tienen los siguientes resultados

$$\lim_{x\rightarrow 0} x^0=1,$$ $$\lim_{y\rightarrow 0^+} 0^y=0,$$

y el vídeo y el mathforum enlace (y muchos otros) se menciona acerca de cómo cuando se aproxima el formulario de diferentes direcciones se obtienen diferentes respuestas

Sin embargo, google y mathematica no pudo demostrar lo que la discontinuidad de la mirada como

Mientras que una problemática similar es el caso del "$\frac{0}{0}$" forma indeterminada, da lugar constantemente la forma de la singularidad esencial

intento de hacerlo para el caso de $x^y$ en google y mathematica no ilumina realmente la forma de la singularidad esencial

Al acercarse a cero en el eje x, y también el análisis de la x y y las derivadas parciales de la función $x^y$ que se puede ver claramente un salto

Sin embargo, yo no acababa de conseguir lo que el resultado de la x^y casos como el enfoque de las direcciones que no son x o eje y geométricamente aspecto

Por ejemplo, para el "$\frac{0}{0}$" caso es fácil ver por qué Numberphile dijo que el valor de $\frac{0}{0}$ depende del ángulo que enfoque el origen

Pero para $0^0$...

Mientras algebraicamente los límites claramente evaluados a diferentes valores dependiendo de cómo nos acercamos a ella, geométricamente no seeemed a estar de acuerdo con lo que los límites dijo (la curva de aspecto liso y continuo...probablemente debido a la limitación de la representación gráfica de los programas)

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Así que para resumir mi pregunta,¿qué hace la discontinuidad de la $0^0$ parecen realmente, es como una oscilación, un salto, un punto o algo más complicado?

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ACTUALIZACIÓN para pedir una aclaración, que debe estar en la sección de comentarios que había que tiene una "publicación de la función de imagen")

Utilizando las respuestas de Aes y Meelo, y el examen de las parcelas de las curvas y curvas paramétricas utilizadas por ellos para investigar el comportamiento limitante, tengo las siguientes

Por lo que la singularidad tiene una forma de la línea vertical en el intervalo (0,1) como se ha mencionado por Aes y su barrio es como se menciona por Meelo tiene una muy empinadas, pero no vertical "culpa " estructura", cerca del eje x que el uso de la forma general de una curva que se puede dar a los límites que se encuentran entre 0 y 1, como se muestra por Aes, explica por qué tenemos que viajar a lo largo de estas curvas (por lo que parte de nuestro viaje es en esa empinada culpa) en fin no es arrastrada hacia el valor de 1

O en definitiva, a partir de las respuestas, a mi entender, como se muestra a continuación la forma correcta de entender?

Answer 1

Un gráfico de contorno es la más fácil a la vista para este. Si te acercas a lo largo de los contornos, obtendrá el valor de dicho contorno.

Tenga en cuenta que $x^y$ puede ser indefinido para $x < 0$ (cualquier energía racional con denominador no trabajo, por ejemplo), que es parte de el extraño comportamiento que está recibiendo. Voy a graficar sólo para los valores positivos, a pesar de que hay una simetría a la negativa $y$ valores como Meelo menciona.

Aquí es un simple gráfico de contorno (el color de la luz es cerca de la 1 y el color oscuro es cerca de 0). Se ve muy limpio y simple realidad. Como veremos más adelante, el 3-D de la discontinuidad es una línea recta en $x = y = 0$, al pasar de $z = 0$$z = 1$. Usted puede hacer que en el gráfico de contorno.

Vamos a entender esto en términos de abordar desde diferentes direcciones. Tome $f(t) = (x(t),y(t))$ como una curva de enfoque, con $x(t)$ $y(t)$ se aproxima a cero a medida $t \rightarrow 0$. Podríamos saltar a la derecha, ahora a la búsqueda de los contornos y se aproxima a lo largo de esas, pero vamos a explorar los límites de la primera. Si te gusta, saltar hasta el final por los contornos.

Para encontrar $\lim x(t)^{y(t)}$, vamos a tomar registros. Yo también voy a dejar de $t$, por lo que la notación es más fácil, pero los derivados será con respecto a $t$. A continuación, llegamos $\lim (y \log x) = \lim \frac{\log x}{1/y}$.

Aplicar l'Hôpital para obtener $\lim \frac{\dot x/x}{-\dot y/y^2} = \lim \frac{-\dot x}{\dot y} \frac{y^2}{x}$.

Si dejamos $x(t)$ $y(t)$ ser distinto de cero y lineal en $t$, se obtendrá cero para este límite, lo que significa que $1$ $x^y$ (porque se tomó un registro). En cuanto a la imagen, se puede ver $1$ es el comportamiento dominante.

También tenemos el comportamiento simple notado acercando con $x = 0$ (límite es $0$) o $y = 0$ (límite es $1$).

¿Cómo podemos obtener otros valores para el límite? Jugamos con el límite anterior. Vamos a dejar que $y(t) = t$, por lo que se convierte en $\lim \frac{- t^2 \dot x}{x}$.

Aviso de que si nos acercamos con $x = t^r$ ($r > 0$) llegaremos $0$ ( $x^y$ $1$ ). Tenemos que hacer algo más drástico.

Si nos acercamos con $x = e^{-a/t}$$\dot x = \frac{a}{t^2} e^{-a/t}$, de modo que todo se cancela y llegamos $-a$ para el límite.

Los valores que se pueden obtener por $-a$ aquí son cualquier valor negativo, que corresponde al intervalo de $(0,1)$ después de exponentiating: esto le da a la "línea de $x = y = 0$" que he mencionado al principio. También tuvimos $0$ $1$ por encima, así que estamos obteniendo el intervalo cerrado $[0,1]$.

Aquí está una parcela de $x = e^{-1/y}$, que, cuando se acercó a lo largo, tiene un límite de $-1$ para el registro, o $1/e$$x^y$. Este es de hecho uno de los contornos. De hecho, si usted resolver por los contornos, $c = x^y$$\log c = y \log x$$\log c / y = \log x$$x = e^{\log c / y}$.

Answer 2

Un molesto cosa acerca de esta discontinuidad, es que si nos acercamos a él por cualquier línea, hemos de conseguir una respuesta. En particular, la línea con pendiente $\beta$ a través de el origen siempre se tiene el límite de $$\lim_{t\rightarrow 0}t^{\beta t}$$ y esto siempre es igual a $1$. Esto puede ser demostrado, ya que $t^{\beta t}=(t^t)^{\beta}$, y desde $1^{\beta}=1$, si podemos mostrar a $$\lim_{t\rightarrow 0}t^t=1$$ a continuación, se muestra para todos los $t$. En particular, es bastante obvio que $t^t<1$ todos los $t\in (0,1)$, por lo que el límite está en la mayoría de los $1$. De hecho enfoques $1$ como puede ser establecida por un simple argumento (que no es muy formal) relativas $x_1=t^t$$x_2=\frac{t}{2}^{\frac{t}2}$. Tenga en cuenta que $x_2$ es un valor de $t^t$ más cerca de la $t=0$$x_1$. En particular, observe que $x_2=\sqrt{t}\cdot \left(\frac{1}2\right)^t$. Puesto que el $\left(\frac{1}2\right)^t$ plazo va a $1$ $t$ no, esto básicamente significa que, si hemos de reducir a la mitad el $t$, el valor de $t^t$ será afectado por una raíz cuadrada - y aplicar repetidamente la raíz cuadrada recorre cualquier valor en $(0,1)$ hacia $1$, finalmente. Por lo $\lim\limits_{t\rightarrow 0}t^t=\lim\limits_{t\rightarrow 0}t^{\beta t}=1$.

Esto es interesante, ya que significa que las líneas se aproxima el origen tiene límite de $1$, excepto para el límite a lo largo del eje de la base, que tiene límite de $0$. Sin embargo, podemos calcular otros límites, como cuando nos acercamos al origen por una parábola o de otra manera. Por desgracia, parece que, a mi juicio, que ningún particular ejemplo natural existe, desde que demostrar fácilmente se extiende para demostrar que si nos acercamos a $(0,0)$ $x^y$ mediante el establecimiento $x$ $y$ a algunos polinomio de una variable ficticia $t$, el límite es todavía $1$ (o $0$ en que uno de los casos). Esto significaría que $x^y$ es, en cierto sentido, casi parece acercarse a $1$ cerca de $(0,0)$, pero, cerca de la $x$ eje lleva una muy fuerte giro hacia la $0$ ( $y>0$ ) o $\infty$ ( $y<0$ ). Sin embargo, supongamos que nos movemos, en $x^y$, a través de la curva de $x=t$$y=\log_t(\frac{1}2)$. Es bastante obvio que $x^y=\frac{1}2$ en todas partes, en esta curva y, por otra parte, tanto en $x$ $y$ enfoque de $0$. Así, a lo largo de esta curva, se obtiene un límite de $\frac{1}2$. Es bastante un ejemplo inventado, pero es ciertamente válido.