La página de wikipedia Grupos de recubrimiento de los grupos alternos y simétricos da presentaciones explícitas para las cubiertas dobles del grupo simétrico S n (n ≥ 4). Puede alguien proporcionar una presentación similar, o mejor aún una descripción combinatoria explícita, de la doble cubierta del grupo alterno A n ? (En realidad sólo me interesa el caso de n grande, por si importa).
Respuesta
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Sí, Schur hizo esto hace mucho tiempo. Deja que $\tilde \Sigma_n \to \Sigma_n$ sea una cubierta doble (hay dos) -- vamos a denotarlas como $\tilde \Sigma_n = \Sigma_n^\epsilon$ donde $\epsilon \in \{+1, -1\}$ .
Schur utiliza la notación $[a_1 a_2 \cdots a_k]$ para una elevación específica del ciclo $(a_1 a_2 \cdots a_k) \in \Sigma_n$ a $\Sigma_n^\epsilon$ -- también podría llamar a estos $k$ -ciclos. Entonces su presentación es así:
$$[a_1 a_2 \cdots a_k] = [a_1 a_2 \cdots a_i][a_i a_{i+1} \cdots a_k] \ \ \forall 1 < i< k$$
y todos $k$ -ciclos, $k>1$ .
$$[a_1 a_2 \cdots a_k]^{[b_1 b_2 \cdots b_j]} = (-1)^{j-1}[\phi(a_1) \phi(a_2) \cdots \phi(a_k)]$$
donde $\phi$ es el ciclo $(b_1 b_2 \cdots b_j)$
$$[a_1 a_2 \cdots a_k]^k = \epsilon$$
para todos $k$ -ciclos -- es decir, esto es siempre $+1$ o $-1$ dependiendo de la extensión de $\Sigma_n$ que te interesa. Y:
$$[a_1 a_2 \cdots a_k][b_1 b_2 \cdots b_j] = (-1)^{(k-1)(j-1)}[b_1b_2 \cdots b_j][a_1 a_2 \cdots a_k]$$
siempre que los ciclos $(a_1 a_2 \cdots a_k)$ y $(b_1 b_2 \cdots b_j)$ son disjuntos.
El mapa $\tilde \Sigma_n \to \Sigma_n$ envía $[a_1 \cdots a_k]$ a $(a_1 \cdots a_k)$ . Así que esto le da una presentación correspondiente del doble de $A_n$ -- tome su presentación favorita de $A_n$ , levante los relatores y vea lo que ocurre utilizando las relaciones anteriores.
Un pequeño detalle extra piensa en $\Sigma_n$ como el grupo de isometrías que conservan la orientación de $\mathbb R^{n}$ que preserva un (n-1)-símplex regular. Si elevamos este grupo a $Spin(n)$ la extensión que desea es aquella en la que $[a_1 a_2 \cdots a_k]^k = -1$ .
