Producto de espacios conectados

Question

Tiene dos espacios topológicos $(A,B)$. Demostrar que $A\times B$ también está conectado.

Entiendo que tengo que demostrar que hay un punto en $B$ ( $b$ ), lo que hace $A\times\{b\}$ homeomórficos a $A$ lo que es conectado a $A\times B$. Entonces demostrar que $\{a\}\times B$ está conectado en $A\times B$. Pero yo realmente no sé dónde estar con esto. Si usted puede ayudar a que se agradece.

Answer 1

Deje $F : A \times B \to \{0,1\}$ ser funciones continuas. Para mostrar que $A\times B$ está conectado para el producto de la topología tenemos que demostrar que $F$ es constante.

Como usted sugiere (tipo de) nos muestran que la primera $F$ es constante en cada serie de la forma $\{a\}\times B$. De hecho, si tenemos $a\in A$ obtenemos una función de $f:B \to \{0,1\}$ definido por $b \mapsto F(a,b)$. Esta función es continua y constante debido a que $B$ está conectado.

En la misma forma en que podemos demostrar que $F$ es constante en los conjuntos de la forma $A \times \{b\}$.

Vamos a demostrar que esto implica que $F$ es constante en $A\times B$. De hecho fix $(a,b) \in A \times B$. Ahora vamos a considerar otro punto de $(a',b')\in A \times B$. Por lo que hemos hecho anteriormente, tenemos $F(a,b)=F(a,b')=F(a',b')$. Hemos terminado.

Answer 2

Teorema. Si $\{X_i\}_{i\in I}$ es una familia de espacios conectados tal que $\bigcap_{i\in I} X_i\neq \phi$ $\bigcup_{i\in I} X_i$ está conectado.

El uso de este es fácil probar lo que usted desea:

Fix $y\in Y$ y considerar, para cada $x\in X$ el conjunto, $$U_x=(\{x\}\times Y)\cup (X\times \{y\}).$$ Then every $U_x$ is connected for it is union of connected sets ($\{x\}\times Y\simeq Y$ and $X\times \{y\}\simeq X$) with non-empty intersection ($(a\{x\}\times Y)\cap (X\times \{y\})=(x, y)$). It is easy to see $$X\times Y=\bigcup_{x\in X} U_x,$$ and since $\displaystyle \bigcap_{x\in X} U_x=X\times \{y\}\neq \phi$, $X\times de$ Y está conectado.

Answer 3

Supongamos $U , V \subseteq A \times B$ son disjuntas abrir conjuntos de cuya unión es todo de $A \times B$. La fijación de algunos $b \in B$, tenga en cuenta que el subespacio $A \times \{ b \}$ $A \times B$ es homeomórficos a $A$, e $A \times \{ b \} \subseteq U \cup V$. Por la conectividad $A$ (y, por tanto, de $A \times \{ b \}$) se puede concluir, sin pérdida de generalidad, que el $A \times \{ b \} \subseteq U$.

Ahora, dada $a \in A$, sabiendo que el $\langle a , b \rangle \in U$ ir a través de un argumento similar como la de arriba a la conclusión de que la $\{ a \} \times B \subseteq U$.

Answer 4

Sugerencia: Tratar de escribir una función continua $f:A\times B\to \{0,1\}$ y recordemos que un espacio topológico está conectado si y sólo si cada función continua a partir de a $\{0,1\}$ es constante.