Si dos integrales definidas son iguales, ¿existe una cadena de sustituciones o integraciones parciales que nos tendrá de uno a otro?

Question

El día de hoy yo estaba teniendo un poco de diversión con el catalán constante y sus diversas integral representaciones: mostrar que todos lo hacen, de hecho, evaluar a la misma cosa. Este me pregunto si esto es siempre posible, si se nos dan varias integral representaciones de un mismo número real. Pensé entonces en un contra-ejemplo:

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\;dx=\int_0^{\sqrt{\pi}}dx$$

Pero yo en parte a poner esto al hecho de que la integral de la izquierda no es la primaria, mientras que el de la derecha no lo es.

Lo que me interesa más, es: si tenemos en cuenta dos elementales integrales tales que:

$$\int_a^b f(x)\;dx=\int_c^d g(x)\;dx$$ ¿existe una cadena de manipulaciones que nos llevará de uno a otro?

También se podría hacer la misma pregunta acerca de la no-elemental integrales (edit: fue recientemente me señaló algo como esto podría ser un contra-ejemplo para este segundo caso).

Answer 1

Considerar las integrales $$ I=\int_a^b f(x)\;\mathrm dx,\qquad J=\int_c^d g(y)\;\mathrm dy, $$ y supongamos que $f\gt0$ en todas partes y que $I=J$. A continuación, el siguiente cambio de variable se transforma $I$ en $J$. Considerar las primitivas $F$ y $G$ de $f$ y $g$ definida por $$ F(x)=\int_a^x f(t)\;\mathrm dt,\qquad G(y)=\int_c^y g(s)\;\mathrm ds, $$ y el cambio de las variables $x=u(y)$ definido en $(c,d)$ por $$ u(y)=F^{-1}(G(y)). $$ Entonces $F'(u)\mathrm du=G'(y)\mathrm dy$, es decir, $f(u(y))u'(y)=g(y)$, por lo tanto, este cambio de variables transforma $I$ en $J$. Si $f$ no es positiva en todas partes, considerar $\hat f=f+C$ con $C$ lo suficientemente grande y aplicar lo anterior a $\bar f$ y a los correspondientes a $\bar g$.

Es el cambio de variable $u$ admisible? Esto depende de tu definición de "admisible", pero si las funciones $f$ y $g$ son de primaria y si la propiedad de ser la primaria se conserva mediante la adopción de un primitivo y tomando la inversa, entonces el cambio de variable $u$ es de hecho la primaria.

Answer 2

Puede consultar el material en "disminución de cambio" de integrales. Decir, Hardy, Littlewood, Polya, las desigualdades.

Answer 3

Si no me missundertood su pregunta (como creo que los comentaristas hicieron), la notificación de que su pregunta es equivalente a preguntar si se puede transformar f(x) en g(x) dentro de los dos intervalos dados por el estiramiento de la traducción (por lo que el segmento [a,b] se convierte en [c,d]) y otros transformadora de las operaciones. La respuesta es no! a menos que desee incluir arbitraria de las transformaciones que se podría asignar una función en cualquier otro, pero en términos de primaria operaciones con las funciones estándar que utilizamos, esto podría no ser posible en general