Es una pregunta muy básica (puede ser trivial) pero cuál es la diferencia exacta, si es que hay alguna, entre el Teorema de Heine Borel y el Teorema de Bolzano Weierstrass. Es cierto que uno (Heine Borel) se puede demostrar a partir de otro (Bolzano Weierstrass ).
Teorema de Heine Borel : Subespacio de $\mathbb{R}^n$ es compacto si es cerrado y acotado.
Teorema de Bolzano Weierstrass : Toda secuencia acotada en $\mathbb{R}^n$ tiene una subsecuencia convergente.
Una respuesta es que el teorema de Bolzano-Weierstrass dice que todo conjunto cerrado y acotado en $\Bbb R^n$ es compacto secuencialmente mientras que el teorema de Heine-Borel dice que todo conjunto cerrado y acotado en $\Bbb R^n$ es compacto . (El teorema de Heine-Borel también afirma lo contrario, por supuesto).
En general, las nociones de compacidad y compacidad secuencial son distintas. Aquí es un ejemplo (con prueba) de un espacio Hausdorff compacto que no es secuencialmente compacto, y aquí , también con prueba, es un ejemplo de un espacio Hausdorff secuencialmente compacto que no es compacto. Sin embargo, en los espacios métricos las dos nociones de compacidad coinciden, por lo que en $\Bbb R^n$ el teorema de Bolzano-Weierstrass puede considerarse como una dirección del teorema de Heine-Borel.
Los teoremas de Heine-Borel y Bolzano-Weierstrass son dos resultados en el análisis real. Estos teoremas son equivalentes en el sentido de que sus demostraciones pueden derivarse la una de la otra. De hecho, hay otros axiomas y resultados, como el axioma de completitud, la propiedad de intervalo anidado, el axioma de continuidad del corte de Dedekind y el principio general de convergencia de Cauchy, que son equivalentes a estos teoremas. La mayoría de los libros de texto no mencionan estas equivalencias. Aparentemente, no está dentro del alcance de los libros de texto elementales sobre análisis real incluir las pruebas de todas estas equivalencias. Entre estos resultados, el teorema de Heine-Borel y el teorema de Bolzano-Weierstrass tienen una importancia fundamental en las aplicaciones y la generalización a un marco más amplio de espacios topológicos.
Para más detalles, véase http://www.researchgate.net/publication/232863146
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¿Podría explicar un poco más claramente lo que está pidiendo? Es evidente que los teoremas dicen cosas diferentes.