Láminas discontinua lineal funcional

Question

Estoy tratando de encontrar un discontinua lineal funcional en $\mathbb{R}$ como una preparación pregunta para un examen. Sé que necesito un infinito-dimensional Espacio Vectorial. Desde $\ell_2$ es de dimensiones infinitas, debe existir un funcional lineal de $\ell_2$ en $\mathbb{R}$. Sin embargo, estoy teniendo problemas para venir para arriba con.

Creo que voy a encontrar una desenfrenada función (aunque no estoy seguro de por qué una desenfrenada función no es necesariamente continua; un poco de luz en ese sentido se aprecia también), así que he pensado en usar los vectores $e^i$, que tiene todas las entradas iguales a cero, excepto para el $i$-th. A continuación, puede definir $f(e^i)=i$. Que sería sin límites, pero no estoy seguro de si sería lineal, e incluso si lo es, no estoy seguro de cómo definir para todos los otros vectores en $\ell_2$.

Un amigo mencionó que en algún momento la cuestión de si el conjunto $E=\{e^i:i\in\mathbb{Z}^+\}$ es una base que habría de venir, pero no estoy seguro de qué base tiene que ver con la continuidad de $f$.

Estoy aprendiendo de este tema por primera vez, así que tengan paciencia conmigo, por favor.

El espacio de secuencias que son eventualmente cero (sugerido por un par de personas) resultó ser exactamente lo que necesitaba. También ayudó a consolidar las nociones de Hamel, no de continuo, etc.

Answer 1

$\newcommand{\Zobr}[3]{#1:#2\#3}\newcommand{\R}{\mathbb R}$ Un enfoque diferente para mostrar la existencia de sin límites funcionales es el uso de la noción de base de Hamel.

Definición: Dejar que $V$ ser un espacio vectorial sobre un campo $K$. Decimos que $B$ es una base de Hamel en $V$ si $B$ es linealmente independiente y cada vector $v\V$ se puede obtener como combinación lineal de los vectores de $B$. (Por linealmente independiente, nos referimos a que si un número finito de combinaciones lineales de los elementos de $B$ es cero, entonces todos los coeficientes deben ser cero.)

Esto es equivalente a la condición de que cada $x\in V$ puede ser escrito en, precisamente, de una manera como $$\sum_{i\in F} c_i x_i$$ donde $F$ si finita, $c_i\in K$ y $x_i\in B$ por cada $i\in F$.

Este es probablemente mejor conocido en el finito-dimensional caso, pero muchas de las propiedades de las bases siguen siendo cierto en el infinito-dimensional caso de que así:

• Todo espacio vectorial tiene una base de Hamel. De hecho, cada linealmente independientes conjunto está contenida en una base de Hamel.
• Cualquiera de los dos Hamel bases de un mismo espacio tienen la misma cardinalidad.
• Selección de imágenes de la base de vectores únicamente determina una función lineal, es decir, si $B$ es una base de $V$, a continuación, para cualquier espacio vectorial $W$ y cualquier mapa de $\Zobr gBW$, existe exactamente una lineal mapa de $\Zobr fVW$ tal que $f|_B=g$.

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Reclamo: Si $X$ es un infinito-dimensional lineal normativa espacio, entonces no existen los no-lineal continua de la función $\Zobr fX{\R}$.

Véase también el Ejemplo 4.2 en Heil: Una base de la teoría de la cartilla.

Prueba. Elegir un infinito linealmente independientes conjunto $\{x_n, n\in\mathbb N\}$ tal que $\|x_n\|=1$. (Un infinito conjunto linealmente independiente existe, ya que $X$ es de dimensiones infinitas. La normalización de los vectores no influye en la independencia lineal.) Hay una base de Hamel $B$ que contiene este set.

Entonces no es una función lineal $\Zobr fX{\R}$ tal que $f(x_n)=n$ y $f(b)=0$ para $b\in B\setminus\{x_n, n\in\mathbb N\}$. Esta función es, obviamente, sin límites. $\square$

De hecho, Srivatsan del comentario anterior es un caso especial de este resultado, ya que $\{e^i; i\in\mathbb N\}$ es un Hamel base del espacio $c_{00}$ de secuencias que finalmente son cero.

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Esta respuesta es muy similar a este.

El de arriba fue tomada a partir de estas notas de la mina. Varios más los resultados y las referencias que se pueden encontrar allí. También he mencionado algunos hechos básicos acerca de Hamel base en otra respuesta a este sitio.

Usted también puede encontrar mucha más información acerca de bases de Hamel en otros posts en este sitio: "Hamel base", base de hamel site:math.stackexchange.com.

Answer 2

Usted no encontrará un ejemplo claro de un discontinuo lineal funcional definido en todas partes en un espacio de Banach: estos requieren que el Axioma de Elección. Sin embargo, usted puede encontrar un discontinua lineal funcional en una normativa espacio lineal. Un escenario típico sería que usted tiene espacio de Banach $X$ (cuya norma voy a denotar $\|.\|_X$), el cual es un denso lineal subespacio de un espacio de Banach $Y$ (bajo otra norma de $\|.\|_Y$, donde $\|x\|_X \ge \|x\|_Y$ para todo $x \in X$), y un funcional lineal $\phi$ en $X$ que es continua por la norma de $\|.\|_X$ pero no para la norma de $\|.\|_Y$. Por lo tanto, si usted toma $X$, con la norma de $\|.\|_Y$, usted tiene una normativa espacio lineal discontinua lineal funcional $\phi$. Tomemos, por ejemplo, $X = \ell_2$, $Y = \ell_\infty$, y $\phi(x) = \sum_{i=1}^\infty x_i/i$.

Answer 3

Como Robert Israel, ya mencionado, no se puede escribir abajo un explícito (libre del axioma de elección) ilimitada lineal funcional en un espacio de Banach. Pero generalmente no es difícil para espacios normados incompletas. Nadie ha mencionado mi ejemplo favorito: el funcional $\ell: C ^ 1 [-1,1] \to \R$ de $\ell(f) = $ f'(0).