Cierto para todos los $n$ implica cierto como $n$ tiende a $\infty$?

Question

Estoy haciendo algunos ejercicios y se topó con uno que tiene dos partes, como sigue:

Dada una matriz de transición de una Cadena de Markov, $\mathbf{P}$, y un vector $\mathbf{f}$, $\mathbf{f}$ es armónica si

$$ \mathbf{f} = \mathbf{P}\mathbf{f}$$

$(a)$ Mostrar que si $\mathbf{f}$ es armónico, entonces

$$ \mathbf{f}=\mathbf{P}^n\mathbf{f} $$

para todos los $n$

$(b)$ $(a)$ , Muestran que si $\mathbf{f}$ es armónico,

$$ \mathbf{f} = \mathbf{P}^\infty \mathbf{f} $$

Estoy incorrecta en el supuesto de que si $(a)$ sostiene, a continuación, $(b)$ es por necesidad? Hay casos donde demostrar algo que tiene para todos los $n$ no prueba que tiene como $n$ tiende a infinito?

Answer 1

Simple contraejemplo

$$\frac{1}{n}>0\text{ for all }n\in\Bbb N$$

Answer 2

La suma $$ \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k} $$ es finito para todos finito $n$, pero $$ \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{k} $$

es infinito.