Axiomática del sistema y de Hilbert 2º problema

Question

Hilbert segundo problema pregunta si los axiomas de la aritmética son consistentes. Este problema ha sido resuelto? No debería un sistema axiomático, idealmente, ser coherente y completa(dado que tenemos la libertad de elegir los axiomas)? He leído Teorema de la Incompletitud de Gödel, pero yo no lo entiendo completamente.

¿Qué implicación hace que este problema tiene para las matemáticas como un todo, ya que la matemática puede ser considerada como el estudio de patrones y estructuras en el marco de un sistema axiomático?

Answer 1

Se plantean dos cuestiones diferentes (aunque no desconectados cuestiones aquí.

(1) Son los axiomas de la aritmética consistente? Que los axiomas? Supongamos que tenemos una corrección de primer orden de la Aritmética de Peano. Sabemos que ninguna teoría más débil que la PA se puede demostrar la consistencia de PA. Eso es porque de Gödel del Segundo Teorema de la Incompletitud de PA, que dice que no podemos probar la consistencia de PA aun suponiendo que la PA, así que no puedo probarlo con menos. Pero probando PA la consistencia en el uso de una teoría más fuerte que PA no ser de mucho uso (a pesar de que podemos hacerlo, por ejemplo, en la teoría de conjuntos ZF): eso es porque si tenemos dudas sobre la consistencia de PA vamos a suponer que tenga dudas acerca de cualquier teoría que es más fuerte que él. Sin embargo deja la posibilidad de probar la consistencia de PA en una teoría que es más débil en algunos aspectos, pero más fuerte que en otros. Y que se puede hacer. Gentzen hizo en 1936, y Gödel mismo hizo en su Dialectica de papel en 1958. A pesar de que ni la prueba es fácil de croquis y hacer plausible en los confines de una respuesta como esta.

(Usted podría preguntarse si bien la prueba podría ser utilizada para convencer a alguien de que tenían dudas sobre la consistencia de PA. Eso dependerá de la fuente de esas dudas. Si la preocupación es acerca de la PA, de una irrestricta de la inducción de la regla, entonces Gentzen y Gödel de pruebas, ya que sólo el uso de la inducción para el cuantificador libre de predicados -- podría calmar esas dudas. Y sin duda es un punto discutible, ya sea Gentzen o de Gödel de la prueba de ello es el tipo de consistencia prueba de que Hilbert estaba esperando -- es discutible qué tipo de razonamiento debe ser aceptable para un finitist trabajando en el Programa de Hilbert.)

(2) "¿no Debería un sistema axiomático, idealmente, ser consistente y completo?" Idealmente, tal vez. Pero en esta vida, podemos rara vez se obtiene el ideal! Y no hay sensatez axiomatized teoría puede incluso ser completa para que las verdades de la de primer orden aritmética de sucesor, la adición y la multiplicación. Eso es lo que Gödel Primer Teorema de la Incompletitud nos muestra. (Hay un montón de buenas exposiciones de ese teorema: pero siempre se puede intentar mi Gödel Sin (Demasiados) las Lágrimas de notas, que se puede obtener en http://www.logicmatters.net )

Answer 2

Un primer orden de la teoría es inconsistente si se puede probar cada bien formado frase. Esto es equivalente a ser capaz de una sentencia de $A$, y la negación de $\neg A$.

El Teorema de la Incompletitud de Gödel afirma que lo suficientemente fuerte como axioma sistemas que son bien conocidos teorías como la Aritmética de Peano y la teoría de conjuntos ZFC no se puede probar su propia consistencia a menos que ya inconsistente.

Esta por encima de las respuestas de Hilbert pregunta : Si Peano Arithemtics podría llegar a ser consistente, entonces ya era capaz de probar cada una de las declaraciones, es decir, es incoherente. Un sistema axiomático en el que todo es proveable no es muy interesante.

Estos incompletitud resultado no causan ningún daño importante a las matemáticas como es la práctica. De hecho, no se puede probar en la Aritmética de Peano o ZFC que la Aritmética de Peano o ZFC, respectivamente, es coherente, pero, como la mayoría de los matemáticos, usted puede simplemente asumir su sistema de axiomas es consistente (ya que nadie ha encontrado aún una incoherencia) y continuar en su negocio.

Por lo que la consistencia de las teorías no es matemáticamente proveable dentro de sí mismo. Suponiendo la consistencia de los más fuertes axioma de sistemas, usted puede probar la consistencia de los más débiles. Por ejemplo, suponiendo la consistencia de ZFC, usted puede probar la consistencia de la Aritmética de Peano. De nuevo por el teorema de la incompletitud, es imposible establecer la consistencia de ZFC en sí mismo. En fin, que se ejecutará en la dificultad de convencer a alguien más fuerte teorías son realmente consistentes.

Por lo tanto, usted será capaz de demostrar la consistencia de su teoría utilizando el método que están completamente formalizable en algunos de primer orden de la teoría. Filosóficamente, es muy interesante si ciertas axioma sistemas son realmente consistente, incluso si en realidad no se puede demostrar formalmente. Algunos pueden argumentar que la aritmética de Peano es un modelo de una parte del razonamiento humano y es tan consistente como el razonamiento humano. Algunas personas pueden argumentar de manera informal que la gente ha utilizado el concepto de aritmética durante miles de años y se aplica a miríadas de aplicaciones del mundo real, sin encontrar ningún problema. Todos estos son filosóficas.

En última instancia, usted debe considerar cuánto crees en aritmética y de lo útil que es para usted? ¿En qué creen más que la luna existe realmente o que la aritmética es consistente!