Cada anillo que he escuchado es unital, yo. e., contiene un (único) elemento de $a$ tal que $xa = ax = x$ por cada $x$. Sin embargo, algunos anillos no tienen ese tipo de elemento. ¿Qué son?
P. S.: uno se dará cuenta de que supuse conmutatividad. Así, para una más fácil relacionados con la solicitud, algunos ejemplos de no-conmutativa anillos también sería apreciada.
Una fuente general de tales ejemplos es el análisis funcional.
Uno de los ejemplos más fácil de describir es el espacio $C_{0}{(X)}$ de las funciones de fuga en el infinito, donde $X$ es localmente compacto, con pointwise la adición y la multiplicación de las operaciones. Este anillo es conmutativo y es unital si y sólo si $X$ es compacto.
Otra clase de ejemplos está formado por la convolución de álgebra $L^{1}(G)$ de un localmente compacto grupo de $G$. Es unital si y sólo si $G$ es discreto y es conmutativo si y sólo si $G$ es conmutativa. Así que probablemente el más fácil de ejemplos de este tipo serían $L^{1}(\mathbb{R})$ o $L^{1}(\mathbb{S^1})$. Pero un poco más complicado son el grupo $C^{\ast}$-álgebras.
Un tipo completamente diferente de la (no-conmutativa) ejemplo sería el álgebra de operadores compactos de un infinito-dimensional espacio de Banach.
No unital anillos se emplean mucho en el estudio general de radicales teorías de anillos. Tal vez usted encontrará las siguientes observaciones de interés, extraído del prólogo de Gardner y Wiegandt: Teoría Radical de los Anillos, 2004.
Algunos autores tratan exclusivamente con anillos con unidad de elemento. Este supuesto es correcto y no restrictiva, si el anillo es fijo, como en el módulo de la teoría o grupo de anillo de la teoría o, a veces, la investigación de polinomio anillos y el poder de la serie de los anillos (si el anillo de coeficientes de no poseer una unidad de elemento. la indeterminada x no es un miembro de la polinomio anillo). Trata, sin embargo, simultáneamente con varios objetos en una categoría de anillos, exigiendo la existencia de una unidad de elemento conduce a una extraña situación. Anillos con unidad de elemento de incluir entre sus operaciones fundamentales de la nullary operación $\mapsto$ 1 la asignación de la unidad de elemento. Así, en la categoría de anillos con unidad elemento de la morfismos, en particular la monomorphisms, tiene que conservar también esta nullary operación: subrings (es decir, subobjetos) deben contener la misma unidad de elemento, y así una correcta ideal con la unidad de elemento no es un sub-anillo, aunque un anillo y un sumando directo; no hay infinito directa sumas, no nulo de anillos, no Jacobson radical de los anillos, el finito de valores de transformaciones lineales de un infinito dimensional espacio vectorial no forman un anillo, etc. Por lo tanto, en muchos, quizá la mayoría, de las ramas de anillo de la teoría de que el requisito de la existencia de una unidad de elemento no es sensible, y por lo tanto inaceptable. Esto se aplica también a la teoría de los radicales. y así, en este libro los anillos no necesita tener una unidad de elemento.
Un anillo se llama generalizada Booleano si $a^2 = a$ por cada elemento de a $a$. Puede ser demostrado fácilmente que un generalizada Booleano anillo es conmutativo y $a + a = 0$ por cada elemento de a $a$. Un generalizada Booleano anillo con una unidad que se llama un anillo Booleano. Como se muestra a continuación, un anillo Booleano puede ser identificado con un álgebra Booleana. Es bien sabido, por la Piedra del teorema de representación, que un álgebra Booleana corresponde canónicamente a un compacto totalmente desconectado del espacio. Voy a explicar un generalizada Booleano anillo corresponde canónicamente a un localmente compacto totalmente desconectado del espacio.
Deje $B$ ser un entramado, es decir, un conjunto parcialmente ordenado en el que cualquiera de los dos elementos tiene un supremum y un infimum. $B$ se llama generalizada del álgebra de boole si satisface las siguientes condiciones.
(1) $B$ tiene al menos un elemento de a $0$.
(2) Vamos a $a, b, c$ ser elementos de $B$.
$a\cap(b\cup c) = (a\cap b)\cup (a\cap c)$
$a\cup (b\cap c) = (a\cup b)\cap (a\cup c)$
(3) Deje $a \in B$. existe $b'$ tal que $b\cap b' = 0, b\cup b' = a$ por cada $b \le a$
Un álgebra de boole se caracteriza como una generalización del álgebra Booleana con un mayor elemento(denotado por $1$). El siguiente es un ejemplo típico de una generalizada de álgebra Booleana.
Deje $X$ ser un conjunto. Deje $\Phi$ ser un no-vacío subconjunto de poder establecer $P(X)$. $\Phi$ se llama un anillo de conjuntos en $X$ si cumple las siguientes condiciones.
Deje $A, B$ ser arbitraria de elementos de $\Phi$.
(1) $A\cup B \in \Phi$.
(2) $A \backslash B \in \Phi$.
A continuación, $\Phi$ es un generalizada del álgebra Booleana con la inclusión de la orden.
Deje $B, C$ ser generalizado del álgebra Booleana. Deje $f\colon B \rightarrow C$ ser un mapa. $f$ se llama un homomorphism si satisface las siguientes propiedades.
$f(a\cup b) = f(a) \cup f(b)$
$f(a\cap b) = f(a) \cap f(b)$
$f(0) = 0$
Al $B$ $C$ son álgebras Booleanas, $f$ se llama un homomorphism de álgebras Booleanas si $f(1) = 1$.
Deje $B$ ser generalizada del álgebra Booleana. Deje $a, b \in B$. Existe $c \in B$ tal que $a \le c, b \le c$(por ejemplo,$c = a \cup b$). Existe $b' \in B$ tal que $b\cap b' = 0, b\cup b' = c$. Se puede demostrar que $a\cap b'$ no depende de una selección de $c$. Denotamos $a \cap b'$$a \backslash b$. Denotamos $(a\backslash b)\cup(b\backslash a)$ $a\triangle b$ y llamar a la diferencia simétrica de a$a$$b$. Puede ser demostrado fácilmente que $B$ es un generalizada Booleano anillo con la adición $\triangle$ y la multiplicación $\cap$.
Por el contrario vamos a $A$ ser generalizada Booleano anillo. Denotamos $a \le b$ si $ab = a$. Puede ser fácilmente demostrado que este es un orden de relación y $A$ es un generalizada del álgebra Booleana con este fin.
Deje $GBoolRng$ ser la categoría de la generalizada Booleano anillos(los morfismos son homomorphisms). Deje $GBoolAlg$ ser la categoría generalizada de álgebras Booleanas(los morfismos son homomorphisms). Deje $\mathcal{Set}$ ser la categoría de los pequeños conjuntos. Deje $U\colon GBoolRng \rightarrow \mathcal{Set}$, Deje $V\colon GBoolAlg \rightarrow \mathcal{Set}$ ser la canónica functors(es decir, el olvidadizo functors).
Por los resultados anteriores, se obtiene un functor $F\colon GBoolRng \rightarrow GBoolAlg$ y un functor $G\colon GBoolAlg \rightarrow GBoolRng$. Es fácil ver que $U = VF, V = UG, GF = 1, FG = 1$. Por lo tanto podemos identificar una generalizada Booleano anillo con una generalizada de álgebra Booleana. Puede ser fácilmente visto que no existe un resultado similar sobre Booleano anillos y álgebras Booleanas.
Deje $A$ ser generalizada del álgebra Booleana. Deje $F_2$ ser los dos elementos del álgebra Booleana. Un homomorphism $\chi\colon A \rightarrow F_2$ se llama un personaje de $A$ si $\chi \neq 0$. Denotamos por a $X(A)$ el conjunto de caracteres de $A$. Deje $F_2^{A}$ el conjunto de mapas de $A \rightarrow F_2$. Consideramos $F_2^{A}$ como un espacio topológico con la topología producto, donde $F_2$ está dotado con la topología discreta. Consideramos $X(A)$ como un espacio topológico con la topología de subespacio inducida por $F_2^{B}$. Se puede demostrar que $X(A)$ es localmente compacto totalmente desconectado espacio de Hausdorff. Deje $S(X(A))$ el conjunto de compacto abrir los subconjuntos de a $X(A)$. Es fácil ver que $S(X(A))$ es un generalizada del álgebra Booleana con la inclusión de la orden. A continuación, el siguiente teorema sostiene.
Generalizada de Piedra del teorema de representación Deje $A$ ser generalizada del álgebra Booleana. Para $a \in A$, denotamos por a $a^*$ el conjunto $\{\chi\in X(A)\colon \chi(a) = 1\}$. A continuación,$a^* \in S(X(A))$. Se define un mapa de $\rho\colon A \rightarrow S(X(A))$$\rho(a) = a^*$. A continuación, $\rho$ es un isomorfismo de la generalizada álgebras Booleanas.
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