Es $77!$ divisible por $77^7$?

Question

Puede $77!$ ser dividido por $77^7$?

Intento:

Sí, porque $77=11\times 7$$77^7=11^7\times 7^7$, por lo que todo lo que necesito es que la factorización prima de $77!$ contiene $\color{green}{11^7}\times\color{blue} {7^7}$ y lo hace.

$$77!=77\times...\times66\times...\times55\times...\times44\times...\times33\times...\times22\times...\times11\times...$$

y todo esto $\uparrow$ números son múltiplos de $11$ y hay, al menos, $7$ $77!$ contiene para asegurarse de $\color{green}{11^7}$

Y $77!$ también contiene $\color{blue} {7^7}:$

$$...\times7\times...\times14\times...\times21\times...\times28\times...\times35\times...42\times...49\times...=77!$$

Tengo la sensación de que mi profesor se está buscando otra solución.

Answer 1

Su solución es correcta!

Usted podría ser cuidadoso en la forma en que se presente a su profesor. Creo que está muy bien, pero aquí es otras palabras, diciendo la misma cosa. (Por lo general tratan de evitar demasiadas $\dots$ en el número de la teoría de las pruebas.)

$$11 = 1\cdot 11 \\ 22 = 2\cdot 11 \\ 33 = 3\cdot 11 \\ 44 = 4\cdot 11 \\ 55 = 5\cdot 11 \\ 66 = 6\cdot 11 \\ 77 = 7\cdot 11$$ son todos distintos factores en $77!$, lo $11^7$ divide $77!$.

Del mismo modo $$7 = 1\cdot 7 \\ 14 = 2\cdot 7 \\ 21 = 3\cdot 7 \\ 28 = 4\cdot 7 \\ 35 = 5\cdot 7 \\ 42 = 6\cdot 7 \\ 49 = 7\cdot 7.$$ son factores de $77!$, lo $7^7$ brecha $77!$

Ahora desde $7$ $11$ son coprime luego también se $7^7$$11^7$, llegamos a la conclusión de que $7^711^7$ brecha $77!$.

Answer 2

Aunque, la respuesta ya está previsto, no puedo enfatizar la utilidad de la Legendre del Teorema para resolver esta clase de problemas. Especialmente el último:

De acuerdo a esto realmente fácil de captar y recordar resultado: $$\nu_7(77!)=\frac{77-5}{7-1}=12$$ $$\nu_{11}(77!)=\frac{77-7}{11-1}=7$$ Lo que significa que $$7^{12}\cdot 11^7 \mid 77!$$

Answer 3

Si $p$ es un número primo, el mayor número de $n$ tal que $p^n \mid N!$ es $\displaystyle n = \sum_{i=1}^\infty \left \lfloor \dfrac{N}{p^i}\right \rfloor$. Tenga en cuenta que esto es realmente una serie finita ya que, desde algún punto, todos los de la $\left \lfloor \dfrac{N}{p^i}\right \rfloor$ va a ser $0$. También hay un acceso directo a la computación $\left \lfloor \dfrac{N}{p^{i+1}}\right \rfloor$ porque se puede demostrar que

$$\left \lfloor \dfrac{N}{p^{i+1}}\right \rfloor = \left \lfloor \dfrac{\left \lfloor \dfrac{N} {p^i} \right \rfloor}{p}\right \rfloor$$

Para $77!$, obtenemos

$\qquad \left \lfloor \dfrac{77}{11}\right \rfloor = 7$

$\qquad \left \lfloor \dfrac{7}{11}\right \rfloor = 0$

Por lo $11^7 \mid 77!$ $11^8 \not \mid 77!$

Desde $7 < 11$, se deduce inmediatamente que $7^7 \mid 77!$. Pero se puede también calcular

$\qquad \left \lfloor \dfrac{77}{7}\right \rfloor = 11$

$\qquad \left \lfloor \dfrac{11}{7}\right \rfloor = 1$

$\qquad \left \lfloor \dfrac{1}{7}\right \rfloor = 0$

Por lo $7^{12} \mid 77!$ $7^{13} \not \mid 77!$

De ello se desprende que $77^7 = 7^{7} 11^7 \mid 77!$.

Answer 4

Tu solución es buena. Para un caso más general, se podía ver a esta pregunta de la máxima potencia de un primer dividir un factorial. Si su profesor le había preguntado si $2^{35}$ se divide en partes iguales en $77!$ de la mano contando ponía muy tedioso.